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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - x^{3} + m x^{2} (m > 0), x \in [1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n), n \in N_{+}$ ，给出下列两个条件：①函数 $f (x)$ 是递减函数；②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数 $f (x)$ 的解析式： $f (x) =$ .

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2、已知公式 $e^{i x} = cos x + isin x$ ，其中 $i$ 是虚数单位，根据此公式计算 $i \cdot e^{- \frac{π}{4} i}$ 的虚部是.

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3、已知点 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点，直线 $l$ 经过点 $F$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，与准线交于点 $D$ ，且 $B$ 为 $A D$ 中点，则下面说法正确的是（）

A、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ B、直线 $l$ 的斜率是 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $|A B| = 9$ D、设原点为 $O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{26}{3}$

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4、下列命题正确的是（）

A、已知 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(3, - 4)$ 的残差为 $- 2.2$ B、数据 $4, 6, 7, 7, 8, 9, 14, 11, 15, 19$ 的 $75 %$ 分位数为11 C、已知随机变量 $X \sim B (7, 0.5), P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3或4 D、对于随机事件 $A$ 与 $B, P (A) > 0, P (B) > 0$ ，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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5、设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝ $\{\begin{array}{l} a, a ⩽ b \\ b, a > b \end{array}$ ；a⊕b＝ $\{\begin{array}{l} b, a ⩽ b \\ a, a > b \end{array}$ ，若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（）

A、mn≥4且p＋q≤4 B、m＋n≥4且pq≤4 C、mn≤4且p＋q≥4 D、m＋n≤4且pq≤4

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6、已知函数 $f (x) = sin ω x + a cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 为奇函数，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = f (x) - cos x$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{c} = (m, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、4 D、7

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角是 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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9、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 0\}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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10、在空间四点O，A，B，C中，若 $\{\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}\}$ 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）

A、O，A，B，C四点不共线 B、O，A，B，C四点共面，但不共线 C、O，A，B，C四点不共面 D、O，A，B，C四点中任意三点不共线

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11、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”.

(1)、试判断 $g (x) = |x|$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 1$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + x + 1 ， x \leq 1 \\ x - 1 ， x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“3重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ . $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ ，若 $h (x)$ 为 $f (x) = \frac{{(\cos x + \sin x + 1)}^{2}}{8 + 8 \sin x}$ (其中 $\sin x \neq - 1$ )的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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12、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对 $\forall x \in D$ ，都有 $f (2 m - x) + f (x) = 2 n$ ，则称函数 $f (x)$ 为中心对称函数，其中 $(m, n)$ 为函数 $f (x)$ 的对称中心.比如，函数 $y = \frac{1}{x} + 1$ 就是中心对称函数，其对称中心为 $(0, 1)$ .

(1)、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，求 $f (0), f (1)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3}$ 为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；

(3)、已知函数 $f (x) = \frac{c}{2^{x + 1} + 1}$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a, b$ 满足 $\frac{a + b}{2} \geq f (- 2024) + f (- 2023) + f (- 2022) + \dots + f (2020) + f (2021) + f (2022)$ ，且不等式 $t (a + 4047 c) b \leq a^{2} + 4047 a c + 2 b^{2}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围

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13、某企业原有 200 名科技人员，年人均工资 $a$ 万元（ $a > 0$ ），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N$ 且 $50 \leq x \leq 80 ）$ ，调整后研发人员的年人均工资增加 $(2 x) %$ ，技术人员的年人均工资调整为 $a (m - \frac{x}{10})$ 万元.

(1)、若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?

(2)、为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 $m$ ，满足以上两个条件，若存在，求出 $m$ 的范围；若不存在，说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + a$ ， $f (- \frac{π}{12}) = 1$ ，

(1)、求 $a$ 的值以及 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、已知 $g (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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15、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 3 x - 1 > 0$ 的解集是 $A = \{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设集合 $B = \{x |2 m < x < 2 - m\}$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、已知 $\sin (x + y) = x + \frac{1}{x} - 1$ ，则 $|x y|$ 的最小值为.

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17、已知 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ ，则 $x =$ .

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18、设 $s, t > 0$ ，若满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x - t|} + \sqrt{|x + t|} = 2 s$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = s$ ，则下列选项中，一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 0$ B、 $s - t = \frac{24}{25}$ C、 $\frac{t}{s} = \frac{4}{5}$ D、 $s \cdot t = \frac{64}{125}$

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19、已知定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足：对于每一个实数 $x$ ，都有 $f (x + \frac{π}{4}) = 1 + \sqrt{2 f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为( )

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{4}$ ，则实数 $ω$ 的取值个数最多为（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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