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相关试卷

1、若两平行平面 $α$ 、 $β$ 分别经过坐标原点O和点 $A (2, 1, 1)$ ，且两平面的一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (- 1, 0, 1)$ ，则两平面间的距离是．

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2、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 的横坐标为3，则点 $P$ 到抛物线焦点的距离是.

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3、已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = 4$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的一半.若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有公共点 C、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $|P A| + 2 |P F|$ 的最小值为5 D、直线 $l_{1} : x + 2 y - 4 = 0$ 是“最远距离直线”

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4、立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的是（）

A、 $A G ⊥$ 平面 $G H M N$ B、若 $E$ 是棱 $M N$ 的中点，则 $H E$ 与平面 $A F G$ 平行 C、平面 $H G F$ 与平面 $N G H M$ 的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、若四边形 $A B C D$ 的边界及其内部有一点 $P$ ， $|F P| = 2 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $π$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} + λ a_{n} = 2 λ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、若 $λ = - 1$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列 C、若 $λ = 1$ ，则 $a_{2025} = a_{2}$ D、若 $λ = 1$ ，则 $S_{2024} = 2024$

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6、某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）
（参考数据： ${1.3}^{9} \approx 10.6, {1.3}^{10} \approx 13.8, {1.3}^{11} \approx 17.9$ ）

A、964万元 B、2980万元 C、3940万元 D、5170万元

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2 n - 1, n 为奇数 \\ 2^{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，则 $S_{10}$ 的值为（）

A、107 B、169 C、1389 D、1409

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $a_{1} < a_{2} < a_{4}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + 2$ ，则146是该数列的（）

A、第10项 B、第11项 C、第12项 D、第13项

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10、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 3)$ 的离心率为 $\frac{2}{a}, A (- 4, 0), B (1, 0)$ ，过定点 $D (x_{0}, y_{0})$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，直线 $l$ 的斜率不为0．

(1)、求 $C$ 的长轴长．

(2)、若 $x_{0} = 4, y_{0} = 0$ ，证明：直线 $B M, B N$ 的斜率之和为定值

(3)、若 $x_{0} = \frac{3}{2}, y_{0} = 2$ ，设直线 $A M, A N$ 分别交 $C$ 于 $P, Q$ （都异于 $M, N$ ）两点，且 $l$ 的斜率存在，证明直线 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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12、若数列 $\{X_{n} + Y_{n}\}$ 是等差数列，则称 $\{X_{n}\}$ 与 $\{Y_{n}\}$ 互为和等差数列．已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、若 $a_{n} = \{\begin{matrix} 2, n = 1, \\ 2 n - 2 + 2^{n - 1}, n \geq 2 \end{matrix}$ ， $b_{n} = - 2^{n} - n^{2} + 2$ ，试问 $\{S_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是否互为和等差数列？说明你的理由．

(2)、设 $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n} = 2 a_{n} + n$ ，且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 互为和等差数列．
①求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n} = a_{n}^{3} - b_{n}^{3}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13、设函数 $f (x) = a x^{2} + ln (x + 1)$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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14、年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会．

(1)、求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)、记小钟的中奖金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A B ⊥ P D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(2)、若 $P A ⊥ A D$ ， $A B = P A = 3$ ， $A D = 6$ ， $\vec{P D} = 3 \vec{E D}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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16、如图，现有一个半球容器（有盖），其表面积为 $300 π$ 平方分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为 $r$ 分米的球，则 $r$ 的最大值为（结果精确到0.1）．

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17、已知 $a, b, c$ 为锐角三角形的三条边，则直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是．

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18、已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为 $m$ ，且随机变量 $X$ 的分布列为
$X$
0.5
$m$
$2 m$
$P$
0.4
0.3
0.3
则 $m =$ ， $E (X) =$ ．

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19、已知正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的体积为 $16 \sqrt{3} π$ ，则其侧棱长可能为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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20、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}), g (x) = 2 tan (x - \frac{π}{4}),$ 则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小正周期相等 B、当 $g (α) = f (\frac{π}{4})$ 时， $tan α = \frac{5}{3}$ C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $(0, π)$ 上有2个交点 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(π, \frac{4 π}{3})$ 上的单调性相同

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$X$	0.5	$m$	$2 m$
$P$	0.4	0.3	0.3