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相关试卷

1、如图，已知在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $C D = D A = 4$ ．

(1)、若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、设 $∠ B A D = α, ∠ B C D = β$ ，
①若 $α = 120^{\circ}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积；
②当四边形 $A B C D$ 面积最大时，求证： $α + β = 180^{\circ}$ ．

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2、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x + 1$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{16}{5}$ ，求 $sin (2 α + \frac{5 π}{6})$ 的值．

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3、已知复数 $z = \frac{5}{2 - i} - 1 + i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ 和 $|z|$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求 $p, q$ 的值．

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4、除特许外，外轮不得进入离我国海岸线 $12 n$ mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距 $10 n$ mile的两个观测站，测得某外轮在点 $P$ 位置， $∠ B A P = 45^{\circ}$ ， $∠ A B P = 120^{\circ}$ ，则此时 $P$ 离海岸线的距离为 $n$ mile．

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5、若 $5 sin 2 α = - 8 sin α$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $cos \frac{α}{2}$ 的值是．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $x$ 的值为．

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7、在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $sin C - sin A = 2 sin A cos B$ ，则（）

A、 $B = 2 A$ B、 $b^{2} = a^{2} + a c$ C、 $1 < sin A + cos A < \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} < \frac{4 {sin}^{2} A}{4 sin A - sin C} < 1$

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8、某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度 $C$ （单位： $mg / L$ ）与时间 $t$ （小时）的变化规律可近似表述为： $C (t) = C_{0} e^{- k t}$ ，其中 $C_{0}$ 为初始血药浓度， $k$ 为代谢速率常数， $C (t)$ 图象如图所示，则（）

A、 $k = ln 2$ B、每小时血药浓度降低的数值相等 C、服药后6小时，血药浓度降至初始值的 $\frac{1}{64}$ D、服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低

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9、下列关于向量的说法中正确的是（）

A、 $\vec{A B} = |\vec{A B}|$ B、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ C、在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $|\vec{B A} + 2 \vec{B C}| = \sqrt{2}$ D、 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ 能作为平面内的一组基底

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $c = 1$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $tan C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、已知 $sin (α + β) = 3 sin (α - β)$ ， $tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{9}{7}$ B、 $- \frac{9}{11}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{9}{7}$

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12、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ ，其中 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\sqrt{3} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{b}$

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13、在用二分法求方程 $ln x + 2 x - 4 = 0$ 在 $[1, 2]$ 上的近似解时，先构造函数 $f (x) = ln x + 2 x - 4$ ，再依次计算得 $f (1) < 0$ ， $f (2) > 0$ ， $f (1.5) < 0$ ， $f (1.75) > 0$ ， $f (1.625) < 0$ ，则该近似解所在的区间可以是（）

A、 $(1, 1.5)$ B、 $(1.5, 1.625)$ C、 $(1.625, 1.75)$ D、 $(1.75, 2)$

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14、 $cos 75^{\circ} cos 45^{\circ} + cos 15^{\circ} sin 45^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 30^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $b = 8$ ，则 $a$ 等于（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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16、复数 $1 + 3 i$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、命题“ $\forall x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - x - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq - \frac{1}{4}$ B、 $a \leq 0$ C、 $a \geq 6$ D、 $a \geq 8$

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18、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (3^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = {log}_{3} (m \cdot 3^{\frac{x}{2}} + 1)$ 有两个不等的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P D = D C = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A P D = ∠ A B C = 90 °$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为 $P A$ 中点.

(1)、求证： $P A ⊥$ 面 $P B D$ ；

(2)、点Q在棱 $P B$ 上，若二面角 $P - A D - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值.

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20、为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分 $100$ 分.参加测试的学生共 $40$ 人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)、由频率分布直方图，求出图中 $t$ 的值，并估计全校高一年级体测成绩的 $60 %$ 分位数；

(2)、为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在 $[70, 90)$ 内的学生中抽取 $5$ 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 的概率；

(3)、现已知直方图中考核得分在 $[70, 80)$ 内的平均数为 $75$ ，方差为 $9$ ，在 $[80, 90$ ）内的平均数为 $85$ ，方差为 $4$ ，求得分在 $[70, 90)$ 内的平均数和方差.

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