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相关试卷

1、某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．

(1)、完成如下列联表：
单位：人
性别
满意
合计

是
否

男

女

合计

根据 $α = 0.025$ 的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？

(2)、为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为 $\frac{186}{365} \approx 0.5$ ）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.05
0.025
0.005
$x_{α}$
3.841
5.024
7.879

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2、某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为 $[485, 490), [490, 495), \dots$ ， $[505, 510]$ ，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；

(3)、若产品重量在区间 $［ 490, 505 ）$ 上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + m$ （ $m \in R$ ）

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $f (x)$ 有3个零点时，求 $m$ 的取值范围．

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4、近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为 $y$ （单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码 $x$ 依次记为 $1 \sim 6$ ，经分析，判断可用函数模型 $y = a \cdot e^{b x}$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系（ $a, b$ 为参数）．令 $z_{i} = ln y_{i}$ ，计算得 $\bar{z} \approx 3.357$ ， $\sum_{i = 1}^{6} z_{i}^{2} \approx 68.017$ ，由最小二乘法得经验回归方程为 $\hat{z} = 0.159 x + 2.799$ ，则 $b$ 的值为．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 $\hat{z_{i}} (i = 1, 2, \dots, 6)$ ，若残差平方和 $\sum_{i = 1}^{6} {(z_{i} - \hat{z_{i}})}^{2} \approx 0.002$ ，则决定系数 $R^{2} \approx$ ．
（参考公式：决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(z_{i} - \hat{z_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(z_{i} - \bar{z})}^{2}}$ ，参考数据： $6 \times {3.357}^{2} \approx 67.617$ ）；

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5、一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有种不同的去法．（用数字作答）

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6、某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占 $70 %$ ， $30 %$ ，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为 $0.8$ ， $0.6$ ，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为．

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7、校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”， $B$ 表示事件“志愿者乙派往铅球区域”， $C$ 表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（）

A、A与 $B$ 相互独立 B、 $B$ 与 $C$ 互斥 C、 $P (A B) = \frac{1}{18}$ D、 $P (C| A) = \frac{5}{12}$

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8、变量 $x, y$ 的一组样本数据如下表所示：
$x$
6
8
10
12
$y$
6
$m$
3
2
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为 $y = 7.6 - 0.4 x$ ，则（）

A、变量 $x, y$ 之间呈负相关关系 B、变量 $x, y$ 之间的相关系数 $r = - 0.4$ C、 $m = 5$ D、样本点 $(8, m)$ 的残差为 $0.6$

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9、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上只有一个极小值点 B、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上有两个极大值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可能没有零点 D、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上一定不存在最小值

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10、若 $m > 1, n > 1$ ，且 $\frac{m + 1}{e^{m}} = \frac{n + 2}{e^{n} + 1}$ ，则（）

A、 $lg m > lg n$ B、 $lg m < lg n$ C、 ${(m - 2)}^{2} < {(n - 2)}^{2}$ D、 ${(m - 2)}^{2} > {(n - 2)}^{2}$

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11、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ （例如01001），其中 $a_{k} (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ 出现0的概率为 $\frac{1}{3}$ ，出现1的概率为 $\frac{2}{3}$ ，记 $X = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{2}{243}$ B、 $E (X) = \frac{5}{3}$ C、 $D (X) = \frac{10}{3}$ D、五位二进制数 $10100$ 与 $10001$ 出现的概率相同

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12、曲线 $y = x cos \frac{x}{2}$ 在点 $(π, 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $π x + 2 y - π^{2} = 0$ B、 $π x - 2 y - π^{2} = 0$ C、 $π x + y - π^{2} = 0$ D、 $π x - y - π^{2} = 0$

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13、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（）

A、160 B、20 C、 $- 160$ D、 $- 1120$

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14、某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $X$ 服从正态分布 $N (70, 10^{2})$ ，则抽测成绩在 $[80, 90]$ 的学生人数大约为（）
（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - δ \leq ξ \leq μ + δ) = 0.6827, P (μ - 2 δ \leq ξ \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、1359 B、2718 C、3414 D、4773

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15、甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为 $\frac{1}{5}$ ，乙能破译出密码的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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16、以下八个数据： $72, 60, 68, 63, 58, 61, 70, 71$ 的第80百分位数是（）

A、68 B、70 C、71 D、70.5

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17、18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时， $f (x) = f (0) + f^{'} (0) \cdot x + \frac{f^{″} (0)}{2!} \cdot x^{2} + \frac{f^{(3)} (0)}{3!} \cdot x^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} \cdot x^{n} + \dots$ ．其中， $f^{″} (x)$ 表示 $f (x)$ 的二阶导数，即为 $f^{'} (x)$ 的导数， $f^{(n)} (x) (n \geq 3)$ 表示 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数．

(1)、根据公式估计 $cos \frac{1}{2}$ 的值；（结果保留两位有效数字）

(2)、由公式可得： $sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \dots$ ，当 $x > 0$ 时，请比较 $sin x$ 与 $x - \frac{x^{3}}{6}$ 的大小，并给出证明；

(3)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{sin (\frac{1}{n + k})}{ln (n + k + 1) - ln (n + k)} > n - \frac{1}{12 n + 9}$ ．

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18、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以8个顶点中的任意两个作为向量 $\vec{a}$ 的起点和终点.

(1)、当 $\vec{a} = \vec{A C_{1}}$ 时，求 $\vec{a} \cdot \vec{A C}$ ；

(2)、记事件 $A =$ “ $\vec{a} \cdot \vec{A C} = 0$ ”，求 $P (A)$ .

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19、已知 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中含 $x^{- 4}$ 项的系数.

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20、某学习小组有4个男生和3个女生.从这7人中选3人参加数学竞赛.

(1)、如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，那么有多少种选法?

(2)、如果3人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法?

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性别	满意		合计
	是	否
男
女
合计

$α$	0.05	0.025	0.005
$x_{α}$	3.841	5.024	7.879

$x$	6	8	10	12
$y$	6	$m$	3	2