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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $P C$ 上， $E F ⊥ P C ， A C = 4 \sqrt{2} ， B D = 4 ， E F = 2$ ．

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，求 $α + β$ ．

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2、已知直线 $l : a x + b y - 3 = 0$ 经过点 $(a, b - 2)$ ，则原点到点 $P (a, b)$ 的距离可以是．（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

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3、已知 $\ln \frac{a}{b} = 2$ ，则 $\ln a^{2} - \ln b^{2} =$ .

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4、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体 $A B C D$ 作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A B C$ 截勒洛四面体所得截面的面积为 $8 π - 8 \sqrt{3}$ B、记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧 $A B$ ，则其长度为 $\frac{4 π}{3}$ C、该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4 D、该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $4 - \sqrt{6}$

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5、已知点 $F (- c, 0) (c > 0)$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，过 $F$ 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 交于点 $F$ 和另一个点 $P$ ，且点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 c x$ 上，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6、下图展示了一个由区间 $(0, 1)$ 到实数集R的映射过程：区间 $(0, 1)$ 中的实数 $m$ 对应数轴上的点 $M$ （如图1）；将线段 $A B$ 围成一个圆，使两端点 $A$ 、 $B$ 恰好重合（从 $A$ 到 $B$ 是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点 $A$ 的坐标为 $(0, 1)$ （如图3），图3中直线 $A M$ 与x轴交于点 $N (n, 0)$ ，则 $m$ 的象就是 $n$ ，记作 $f (m) = n$ ．
则下列命题中正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{4}) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在其定义域上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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7、二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中的常数项为（）

A、1792 B、－1792 C、1120 D、－1120

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8、 $A = \{1, a\}$ ， $B = \{2, 3, 4\}$ ，且 $A \cup B = {1,2, 3,4}$ ，则实数 $a$ 取值的集合是（）

A、 ${1,2, 3,4}$ B、 ${2,3, 4}$ C、 ${2}$ D、 ${3}$

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 2, 0)$ ， $\vec{c} = (1, 1, λ)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (2 \vec{a} + b)$ ，则 $λ =$ ．

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10、为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 $70 %$ .

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理

不经常整理

合计

(1)、求图1中 $m$ 的值；

(2)、根据图1、图2中的数据，补全上方 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
$α$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - e$ ， $a \in R$ （注： $e = 2.718281 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个极值点，求实数a的取值范围．

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12、已知 $6$ 件产品中有 $4$ 件合格品和 $2$ 件次品，现从这 $6$ 件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取 $2$ 件，设采用有放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $X$ ，采用无放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $Y$ ．

(1)、求 $P (X \leq 1)$ ；

(2)、求 $Y$ 的分布列及数学期望 $E (Y)$ ；

(3)、比较数学期望 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小．

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13、已知集合 $A = \{x | \frac{2 x - 3}{x + 5} < 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} + a x + b \leq 0\}$ 且满足 $A \cap B = \emptyset$ ， $A \cup B = \{x | - 5 < x \leq 2\}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 2 \cos x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x - 2)$ 的解集为.

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15、如图，二面角 $α － l － β$ 的大小为 $60 °$ ，其棱l上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若 $A B ＝ 3, A C ＝ 2, B D ＝ 2,$ 则 $C, D$ 两点间的距离为．

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16、若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + y = 2$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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17、我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A B ⊥ B C$ ，若 $B B_{1} = A B = 2, B C = 1$ ，则（）

A、该“堑堵”的体积为2 B、该“堑堵”外接球的表面积为 $9 π$ C、若点P在该“堑堵”上运动，则 $| P A |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、该“堑堵”上， $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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18、下列四个命题中假命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 < 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} > 1$ C、 $\exists x \in Z$ ，使 $x^{5} < 1$ D、 $\exists x \in Q$ ， $x^{2} = 3$

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19、某地区有 $8000$ 名学生参加某次考试，考试后数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (110, σ^{2})$ ，若 $P (90 \leq X \leq 110) = 0.45$ ，则估计该地区学生本次考试数学成绩在 $130$ 分以上的人数为（）

A、 $300$ B、 $400$ C、 $600$ D、 $800$

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M在棱 $D D_{1}$ 上，直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B M$ ，则点M的位置是（）

A、点D B、点 $D_{1}$ C、 $D D_{1}$ 的中点 D、不存在

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经常整理
不经常整理
合计

$α$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$