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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则事件 $A, B$ 相互独立 B、已知随机变量 $x \sim B (11, \frac{1}{3})$ ，则 $D (x) = \frac{22}{9}$ C、数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D、已知随机变量 $ξ \sim N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$

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2、已知随机变量X满足 $E (3 X + 1) = 10$ ， $D (\sqrt{2} X + \sqrt{2}) = 2$ ，则（）

A、 $E (X) = 31$ ， $D (X) = 4$ B、 $E (X) = 3$ ， $D (X) = \sqrt{2}$ C、 $E (X) = 3$ ， $D (X) = 1$ D、 $E (X) = 31$ ， $D (X) = 1$

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3、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 $P - A B C$ 为鳖臑， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = A B = B C = 1$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的大小为.

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4、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = D C = 4$ ， $A B = 8$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 到点 $P$ 的位置，且 $P E ⊥ B E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $P - B C D E$ ，若 $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $P B$ 上动点.

(1)、当 $N$ 为 $P B$ 的中点时.
①求证：平面 $E M N ⊥$ 平面 $P B C$ ；
②求直线 $P B$ 与平面 $E M N$ 所成角的正弦值.

(2)、若 $\vec{B N} = λ \vec{B P}, λ \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，求二面角 $N - E M - B$ 的正弦值的取值范围.

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5、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $2 a sin (C + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} b$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b > c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $sin (A + B)$ 的值；

(3)、若 $b = 6$ ， $c = 8$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 垂心， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{A O} \cdot \vec{A H}$ 的值.

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6、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 9$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ， N为 $A C$ 的中点，设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B N}$ 、 $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、求 $cos ∠ M P N$ .

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7、在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = C D$ ， $M$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $C M ⊥ A D$ ；

(2)、若 $N$ 为 $B C$ 的中点，过 $M N$ 的平面 $α$ 交平面 $A C D$ 于 $P Q$ ，求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ .

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8、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求使 $f (x) \leq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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9、在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把 $sin (α + β)$ 与 $sin (α - β)$ ， $cos (α + β)$ 与 $cos (α - β)$ 相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如： $sin α + sin β = sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ $= 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ .
如果角 $θ$ 与 $γ$ 满足 $cos θ - cos γ = - \frac{1}{6}$ ， $sin θ - sin γ = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (θ + γ) =$ .

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10、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，若 $a = 8$ ， $\cos A = \frac{1}{7}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $b =$ .

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11、 $cos {52.5}^{\circ} cos {7.5}^{\circ} - sin {52.5}^{\circ} sin {7.5}^{\circ}$ 的值为.

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12、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x - \frac{π}{4})$ ， $ω > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ 时，点 $(\frac{5}{8} π, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $ω = 2$ 时，函数 $y = f (x) - 1$ 在 $[- π, \frac{π}{2}]$ 上有4个零点 C、将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $ω$ 最小值为3 D、当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x)$ 恰有4个最大值，则实数 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{27 π}{4}, \frac{35 π}{4})$

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13、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A A_{1} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 与直线 $B_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、三棱锥 $A - A_{1} B C$ 的体积为 $12 \sqrt{3}$ C、点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{13}$ D、四棱锥 $A_{1} - B_{1} B C C_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$

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14、在 $△ A B C$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $\tan (A + B) = \tan C$ B、 $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ C、若 $\cos A < \cos B$ ，则 $A > B$ D、存在 $△ A B C$ ，使得 $\sin A + \sin B < \sin C$ 成立

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15、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ 为四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 及其内部的动点， $P Q / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ .则 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正切值的范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[0, \sqrt{2}]$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{4}$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{5} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A C}$

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17、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, \sqrt{2})$ ， $\vec{A C} = (4, - 2 \sqrt{2})$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12$

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18、如图，已知圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A B$ 是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $4 π$

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19、设 $α$ ， $β$ 为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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20、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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