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相关试卷

1、如图所示的多面体是由正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和正四棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ （正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知 $A B = 4, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 2, A_{1} A_{2} = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $A_{1} A_{2}$ 上一动点．

(1)、证明： $B D ⊥ C_{1} M$ ；

(2)、若 $\vec{A_{2} M} = \frac{1}{4} \vec{A_{2} A_{1}}$ ，求直线 $C_{1} M$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的余弦值．

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2、某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为 $2 : 1$ ，男生近视的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$ ，男生与女生总近视人数占总人数的 $\frac{2}{3}$ .

(1)、完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.
近视
不近视
合计
男
女
合计
60

(2)、按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ .
$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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3、已知函数 $f (x) = | \sin ω x | + | \cos ω x | (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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4、已知点集 $C = \{(x, y) ∣ {(x - cos θ)}^{2} + {(y - sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ\}$ ，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（）

A、图形内部空白区域的面积最小值为 $π$ B、图形上的点到原点的最小距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、当 $φ = \frac{3 π}{2}$ 时，图形关于 $y = - x$ 对称 D、当 $φ = π$ 时，图形内外边界的长度和为 $8 π$

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5、已知点 $M$ 为直线 $l : x - y + 8 = 0$ 与 $y$ 轴交点， $P$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一动点，点 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ ，则（）

A、 $|P M|$ 取得最小值时， $S_{△ A B P} = 6 \sqrt{5}$ B、 $M P$ 与圆 $O$ 相切时， $|P M| = \sqrt{19}$ C、当 $B P ⊥ M P$ 时， $\vec{A P} \cdot \vec{B M} = 0$ D、 $\sin ∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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6、魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率 $π$ 约等于 $\frac{355}{113}$ ，和 $π$ 相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 $π$ 的近似值还可以表示成 $4 \sin 52 °$ ，则 $\frac{π \sqrt{16 - π^{2}}}{\cos^{4} 3.5 ° + \sin^{4} 3.5 ° - \frac{3}{4}}$ 的值约为（）

A、 $- 32$ B、 $- \frac{1}{32}$ C、 $32$ D、 $\frac{1}{32}$

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7、已知 $α$ 是第一象限角，且 $sin α + cos α = 3 cos α tan α$ ，则 $sin (α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8、若复数z满足 $2 \bar{z} + i \cdot z = 4 + 5 i$ ，则z在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、集合 $A = {a_{i} | a_{i} < a_{j}, i < j, i, j = 1, 2,$ $\dots, n\}$ ， $B = {a_{i} + a_{j} | a_{i} \in A, a_{j} \in A, i \neq j}$ ，称 $W (A) = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} +$ … $+ {(- 1)}^{n - 1} a_{n}$ 为集合A的交错和， $\sum (A)$ 为集合A所有子集的交错和之和.

(1)、若 $A = \{1, 2, 4, 8, 16\}$ ，求 $W (A)$ ；

(2)、若 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，求 $\sum (A)$ ；

(3)、若 $A = {a_{1}, a_{2},$ $\dots, a_{n}\}$ （ $n \geq 2$ ），求集合B的元素个数有多少种情况

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10、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆E上， $A F ⊥ x$ 轴．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $P (0 ， 2)$ 的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 $△ A M N$ 的面积为9时，求直线l的方程．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ 且 $a_{1} = 5$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ 且 $b_{1} = - 1.$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{3 - a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} .$

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12、已知在三棱锥 $D - A B C$ 中， $D A ⊥ D C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A D = D C = \sqrt{3}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B D = \sqrt{3} .$

(1)、证明：平面 $B C D ⊥$ 平面ABC；

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值．

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13、已知圆M经过 $(1, 0)$ 和 $(3, 2)$ ，且圆心在直线 $3 x + y - 5 = 0$ 上．

(1)、求圆M的方程；

(2)、若圆N： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 y + a = 0$ 与圆M外切，求实数a的值．

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14、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为 $(3, 1)$ ，且三角形OAB的面积 $S_{△ O A B} = \frac{4}{5} \sqrt{5}$ ，则双曲线离心率为.

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15、类似二维向量，定义n维向量空间中 $A (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $B (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ ，两点间“距离” $d_{A B} = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + \dots + {(b_{n} - a_{n})}^{2}} .$ 校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点.8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为型号．
型号
身高 $/ cm$
胸围 $/ cm$
腰围 $/ cm$
肩宽 $/ cm$
XXS
150
76
62
34
XS
155
80
66
36
S
160
84
70
38
M
165
88
74
40
L
170
92
78
42
XL
175
96
82
44
XXL
180
100
86
46
XXXL
185
104
90
48

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16、若椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为P，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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17、已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，点P为棱 $A A_{1}$ 上的动点，点Q为平面 $P B_{1} D_{1}$ 上的任意一点，Q到直线 $A A_{1}$ 和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（）

A、存在点P使得直线 $A A_{1}$ 与平面 $P B_{1} D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、存在直线PQ与平面 $A_{1} B_{1} D_{1}$ 所成的角大于二面角 $P - B_{1} D_{1} - A_{1}$ C、点Q所在的曲线可能为双曲线 D、点Q所在的曲线可能为抛物线

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18、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点F的直线与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 4$ B、线段AB中点到准线的距离最小值为2 C、若直线AB的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A B | = \frac{16}{3}$ D、 $tan ∠ A D F = sin θ (θ$ 为直线AB的倾斜角 $)$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{lg (a_{n} b_{n})\}$ 是等差数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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20、纸上画有一圆O，在圆内任取一定点 $A ($ 异于点 $O)$ ，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕 $l .$ 继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

型号	身高 $/ cm$	胸围 $/ cm$	腰围 $/ cm$	肩宽 $/ cm$
XXS	150	76	62	34
XS	155	80	66	36
S	160	84	70	38
M	165	88	74	40
L	170	92	78	42
XL	175	96	82	44
XXL	180	100	86	46
XXXL	185	104	90	48

	近视	不近视	合计
男
女
合计			60