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相关试卷

1、已知圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 3$ 的圆心在直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 上．
（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有 $|P A| = \sqrt{3} |P B|$ ，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．

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2、已知棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, A D, C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、过 $M, N, P$ 三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.

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3、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{2} = - 3$ ， $S_{3} = 9$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并判断 $S_{n + 1}$ ， $S_{n}$ ， $S_{n + 2}$ 是否成等差数列.

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4、（如图甲） $P - A B C D$ 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面 $A B C D$ 为平行四边形. 现将容器以棱 $A B$ 为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过 $C D E F$ ，且 $E, F$ 分别为棱 $P A, P B$ 的中点，设棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为.

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，过点 $M (1, - 1)$ 作直线与双曲线 $C$ 有且只有一个交点，这样的直线可以作条（填“条数”）．

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6、抛物线 $y = \frac{x^{2}}{2}$ 的准线方程为．

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7、数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 \sqrt{3} |x| - 2 |y|$ 就是其中之一，其形状酷似数学符号“ $\infty$ ”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 与直线 $y = x$ 有3个公共点； B、 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值为4 C、曲线 $C$ 所围成的图形的面积为 $\frac{8 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $x^{2} + {(y + 3)}^{2}$ 的最大值为 $11 + 4 \sqrt{7} .$

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8、已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（）

A、一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C、一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D、过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

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9、如图所示的矩形画板 $A B C D$ 中， $|A B| = 2 a, |B C| = 2 b (a > b > 0)$ . $E, F, G, H$ 分别是矩形四条边的中点，点 $J, K, L$ 分别是线段 $B F$ 上的四等分点，连结 $E B$ ，与 $G J, G K, G L, G F$ 的交点分别为 $M, N, S, P$ ，以 $H F$ 为 $x$ 轴，以 $E G$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，则 $M, N, S, P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点为（）

A、 $M$ B、 $N$ C、 $S$ D、 $P$

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10、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为点 $A$ ，垂线 $l$ 与另一条渐近线相交于点 $B$ .若点 $A$ 是线段 $B F$ 的中点，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $|a_{7}| = |a_{12}|$ 且公差 $d > 0$ ，则其前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值时 $n$ 的值为

A、7 B、8 C、9 D、10

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12、已知数列 $2, \sqrt{6}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{10}, 2 \sqrt{3}, \dots, \sqrt{2 (n + 1)}, \dots$ ，则 $\sqrt{42}$ 是这个数列的（）

A、第17项 B、第18项 C、第19项 D、第20项

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13、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M}$ 可表示为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、直线 $x + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $0$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、不存在

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15、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，两焦点和短轴一个端点构成边长为 $2$ 的正三角形．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，不过原点 $O$ 直线 $l_{2}$ ： $y = k x + n$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ．记直线 $O P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ．
①求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
②若 $O$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 四点围成的四边形为平行四边形，求 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ P A B}}$ 的值．

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16、已知菱形 $A B C D$ 如图①所示，其中 $A B = 4$ 且 $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，现沿 $A C$ 进行翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，再过点 $B$ 作 $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $B E = \frac{\sqrt{3}}{4} A B$ ，所得图形如图②所示．

(1)、求五面体 $A B C D E$ 的体积；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P$ 与平面 $A D E$ 所成角为 $θ$ ，求 $sin θ$ 的最大值．

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17、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $c > 0$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 与圆 $E : {(x - \frac{c}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{9}$ 相切，则双曲线的离心率是．

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $A C ， A_{1} B$ 的中点，则（）

A、 $M N / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、 $M N ⊥ A C_{1}$ C、直线 $M N$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $\vec{A_{1} E} = 2 \vec{E B_{1}}$ ，则平面 $M ， N ， C_{1} ， E$ 四点共面

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19、甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布 $N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（）
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ .

A、乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B、甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C、甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D、若 $σ_{1} = 5$ ，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

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20、若 $\tan (α + β) = 7, \frac{\tan^{2} α - \tan^{2} β}{1 - \tan^{2} α \tan^{2} β} = 21$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{10}{21}$ D、 $\frac{21}{10}$

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