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相关试卷

1、若复数z满足 $z (3 + 4 i) = 25$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A、56 B、60 C、140 D、120

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3、若复数z满足 $(1 + i) z = 3 - 2 i$ ，则z的虚部为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4、设正四面体 $A B C D$ 的棱长为2， $M$ 是 $A D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C M}$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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5、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6、若关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - m x - 1 < 0$ 的解集是 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m | - 4 \leq m \leq 0}$ B、 ${m | - 4 < m \leq 0}$ C、 ${m | 0 \leq m < 4}$ D、 ${m | - 4 < m < 0}$

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7、直线 $x \sin θ + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $△ P C D$ 为等边三角形， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ ．

(1)、求证： $P B ⊥ C D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角正弦值．

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9、在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $B D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、0

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10、已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a},$ $B = {x | - 2 < x < 4}$

(1)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 < 0$

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12、不透明的口袋中装有编号分别为 $1, 2, \dots, n (n \geq 2, n \in N^{*})$ 的 $n$ 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 $r$ 次，每次取1个球，记取出的 $r$ 个球的最大编号为随机变量 $X$ ，则称 $X$ 服从参数为 $n, r$ 的“ $B M$ ”分布，记为 $X \sim B M (n, r)$ .

(1)、若 $X \sim B M (2, 2)$ ，求 $P (X = 2)$ ；

(2)、若 $X \sim B M (4, m)$ ，且 $E (X) \geq \frac{13}{4}$ ，求 $m$ 的最小值；

(3)、若 $X \sim B M (n, n)$ ，求证： $\forall n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ， $E (X) > n - 1$ .

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $Q (- 4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $Q$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与 $C$ 相交于两点E，F（ $E$ 在 $F$ 的左侧）.设直线 $A E$ ， $A F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线 $A F$ ， $B E$ 相交于点 $M$ ，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值.

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线为 $l$ ，求 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 的公共点个数；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < e^{2} + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有种（用数字作答）.

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16、若圆心在 $x$ 轴上的圆 $C$ 与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 相切于点 $A (1, 2)$ ，则圆心 $C$ 的坐标为.

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x + 2 k) = (k + 1) f (x) (k \in Z)$ ，且 $f (x) = x |x - a|$ ， $a > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、若 $a = 2$ ，则 $f (- 99) = - 50$ C、若 $a = 1$ ，则 $g (x) = f (x) - \frac{2}{3} (x + 1)$ 在 $[- 6, 6]$ 上恰有5个零点 D、若 $\forall k \in N^{*}$ ， $f (x)$ 在区间 $[2 k - 2, 2 k]$ 有最大值，则 $4 \sqrt{2} - 4 \leq a < 4$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = \frac{1}{8}$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = - 3 a_{n + 1} a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{14}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{17 - 3 n}$ C、 $a_{n} \geq a_{7}$ D、 $S_{10} < 0$

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19、某研究所研究耕种深度 $x$ （单位： $cm$ ）与水稻每公顷产量 $y$ （单位： $t$ ）的关系，所得数据资料如下表：
耕种深度 $x / cm$
8
10
12
14
16
每公顷产量 $y / t$
6.0
7.5
7.8
9.2
9.5
经计算可知每公顷产量 $y$ 与耕种深度 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.435 x + \hat{a}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、每公顷产量与耕种深度呈负相关 B、耕种深度的平均数为12 C、每公顷产量的平均数为7.8 D、 $\hat{a} = 2.78$

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 的右支上，且 $\vec{M F} = 3 \vec{F N}$ ，点 $N$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $P$ .若 $P F ⊥ M N$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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耕种深度 $x / cm$	8	10	12	14	16
每公顷产量 $y / t$	6.0	7.5	7.8	9.2	9.5