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相关试卷

1、已知正四面体 $P - A B C$ 的各棱长均为2，各顶点均在球 $O$ 的球面上，则（）

A、正四面体 $P - A B C$ 的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$ C、二面角 $B - C P - A$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、球 $O$ 的表面积为 $6 π$

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2、欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + isin x (e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，其中 $z_{1} = \sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i}$ ，则（）

A、复数 $z_{1}$ 对应的点位于第二象限 B、 $z_{2} = 1 - i$ C、 $| a + b i | = 2 \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $|z + z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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3、下列各式正确的是（）

A、 $\sin 15^{°} + \sin 75^{°} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\sin 15^{°} \sin 75^{°} = \frac{1}{2}$ D、 $\tan 22^{°} + \tan 23^{°} + \tan 22^{°} \tan 23^{°} = 1$

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4、已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1, B D = \sqrt{3}, M$ 是菱形 $A B C D$ 所在平面内的动点，则 $\vec{M A} \cdot (\vec{M B} +$ $\vec{M C}$ ）的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{8}, + \infty)$ B、 $[- \frac{5}{16}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{16}, + \infty)$

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5、 $\sin^{2} θ + \cos^{2} (\frac{π}{6} + θ) + \sin θ \cos (\frac{π}{6} + θ)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知l，m是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l / / α$ ，则 $l / / m$ B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定不平行 C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直

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7、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{4}, \tan B = \frac{3}{5}$ ，若 $△ A B C$ 最长边的长为 $\sqrt{34}$ ，则最短边的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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8、某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i (i$ 为虚数单位)，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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10、下列统计量中，能度量样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的离散程度的是（）

A、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的众数 B、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的中位数 C、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差 D、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ B、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、若 $P$ 在底面 $A B C D$ 内（包含边界）运动，且满足 $D P = 1$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $π$ D、由 $B_{1} 、 C 、 E$ 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{5}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $P, Q$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为 $N$ .
①证明：直线 $Q N$ 过定点；
②求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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13、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $|φ|$ 的最小值为.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x - 1}} - a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \leq - 1$ B、若 $0 < a < 2$ ，设 $f (x) > a - 1$ 的解集为 $(m, n)$ （ $n > m$ ），则 $n - m > 2$ C、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，则 $a \in (- \frac{e \ln 2}{2}, 0)$ D、若 $a = 1$ ，则过 $(0, 3)$ 仅能做曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, x > 0 \\ ln (- x + 1) + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则 $g (x)$ 有1个零点 B、若 $m = 3$ ，则 $g (x)$ 有6个零点 C、若 $g (x)$ 有5个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(0, 3)$ D、 $g (x)$ 一定有零点

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16、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图像 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 的值域是[ $- \sqrt{3}, \sqrt{3}$ ]

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17、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，它们的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) + f (6 - x) = 2, f (x) = g (3 - x) - 5$ ，且 $f^{'} (x) - g^{'} (x - 1) = 2, f^{'} (3) = - 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} g^{'} (k) =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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18、若 $α + β = \frac{3 π}{4}, tan α = 2$ ，则 $\frac{sin (α - β)}{cos (α - β) - sin α sin β} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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19、在棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，F为棱 $B B_{1}$ 的动点，连接 $A E$ 、 $E F$ 、 $A F$ .

(1)、证明： $A E ⊥ B C$ ；

(2)、线段 $B B_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $A - E F - C$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ，若存在，请求出 $B F$ 的长度；若不存在，请说明理由；

(3)、平面 $A E F$ 与棱 $A_{1} C_{1}$ 交于点 $G$ ，设四边形 $A F E G$ 的面积为 $S_{0}$ ， $△ A E G$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ A E F$ 面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{0}^{2}}{S_{1} S_{2}}$ 的取值范围.

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20、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、求x的值；

(2)、若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）；
（i）估计105户居民用户月用电量落在 $[125, 225)$ 中的可能性；
（ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值.

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