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相关试卷

1、某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人.

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2、已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ；第二部分样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，设 $\bar{x} \leq \bar{y}, s_{x}^{2} \leq s_{y}^{2}$ ，则以下命题正确的是（）

A、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{x} \leq \bar{z} \leq \bar{y}$ B、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 ${\bar{z}}^{2} \geq \bar{x} \cdot \bar{y}$ C、设总样本的方差为 $s^{2}$ ，则 $s_{x}^{2} \leq s^{2} \leq s_{y}^{2}$ D、若 $m = n, \bar{x} = \bar{y}$ ，则 $s^{2} = \frac{s_{x}^{2} + s_{y}^{2}}{2}$

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3、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2 A A_{1} = 4$ ， $∠ B_{1} B C = \frac{π}{3}$ ，棱 $B_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为D，E，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界），且 $A P = 2 \sqrt{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{50 \sqrt{2}}{3}$ C、 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、动点P形成的轨迹长度为 $\frac{4 π}{3}$

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4、已知 $O (0, 0)$ ， $P_{0} (1, 0)$ ， $P_{1} (\cos α, \sin α)$ ， $P_{2} (- \cos β, \sin β)$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $α + β = π$ ，则 $\vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{0}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{0}}$ B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{O P_{1}} ⊥ \vec{O P_{2}}$ C、若 $|\vec{P_{0} P_{1}}| = |\vec{P_{0} P_{2}}|$ ，则 $α = - β$ D、若 $\vec{O P_{0}} + \vec{O P_{2}} = \vec{O P_{1}}$ ，且 $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $α = β = \frac{π}{3}$

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5、“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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6、圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为 $23 °$ （ $∠ A B C$ ）和 $83 °$ （ $∠ A D C$ ）．设表高 $A C$ 为1米，则影差 $B D \approx$ （）（参考数据： $\sin 16 ° \approx 0.276$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、2.016米 B、2.232米 C、2.428米 D、2.614米

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7、某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）

A、64 B、65 C、66 D、67

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8、在直角梯形ABCD中， $A B // C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 2$ ， M是CD的中点，N在BC上，且 $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\cos ⟨\vec{B M}, \vec{D N}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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9、从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）

A、恰好有1件次品和恰好有2件次品 B、至少有1件次品和全是次品 C、至少有1件正品和至少有1件次品 D、至少有1件次品和全是正品

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10、已知直线 $m$ ， $n$ ，平面 $α$ ，则“ $m // α$ ， $n ∥ α$ ”是“ $m ∥ n$ ”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要

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11、 $\frac{| 3 - 4 i |}{3 + 4 i} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的图象如图所示，点 $B$ ， $D$ ， $F$ 为 $f (x)$ 与 $x$ 轴的交点，点 $C$ ， $E$ 分别为 $f (x)$ 的最高点和最低点，而函数 $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $2$ ，且其在 $x = - \frac{1}{2}$ 处取得最小值.

(1)、求参数 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $A = 1$ ，求向量 $2 \vec{B C} - \vec{C D}$ 与向量 $\vec{C B} + 3 \vec{C D}$ 的夹角；

(3)、若点 $P$ 为 $f (x)$ 函数图象上的动点，当点 $P$ 在 $C$ ， $E$ 之间运动时， $\vec{B P} \cdot \vec{P F} \geq 1$ 恒成立，求 $A$ 的取值范围.

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13、如图，平行四边形 $O A D B$ 的两条对角线相交于点C，点 $M, N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $M N ⊥ A B$ ，求 $∠ A O B$ ．

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14、已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x, \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、若 $f (x) < \frac{m}{10}$ 在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 上有解，求整数m的最小值．

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15、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ， ③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， _____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .
（1）求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；
（2）求 $β$ .

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16、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$

(3)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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17、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求

(1)、 $\sin α, \cos α$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{4})$

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18、如图，在△ABC中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B A} + m \vec{B C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A M} =$ .

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19、已知扇形的圆心角为 $120^{\circ}$ ，弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为．

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20、将函数 $f (x) = \sin \frac{1}{2} ω x (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有5个零点，则（）

A、 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{20})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{4}, \frac{23}{4})$ D、 $y = g (x) - 1$ 在 $(0, π)$ 有且仅有3个零点

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