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相关试卷

1、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距与另一条直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距相同，则点 $P (\sqrt{3}, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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2、直线 $l_{1}$ ： $2 x - 3 y + 5 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + y - 10 = 0$ 的交点坐标是（）

A、 $(5, 5)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(8, 5)$

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3、如图，四边形ABCD是正方形， $P B ⊥$ 平面ABCD， $M A / / P B, P B = A B = 2 M A$ ．

(1)、求证： $D M / /$ 平面PBC；

(2)、求二面角 $M - P D - C$ 的正弦值．

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4、已知 $\vec{a} = (2, 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .则 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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5、已知 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ .

(1)、若 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $t \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数 $t$ 的值；

(2)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(3)、若向量 $(2 \vec{a} - λ \vec{b})$ 与 $(λ \vec{a} - 3 \vec{b})$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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6、作用于同一点 $O$ 的三个力 $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ 处于平衡状态，已知 $| \vec{F_{1}} | = 1$ ， $| \vec{F_{2}} | = 2$ ， $\vec{F_{1}} 与 \vec{F_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{F_{3}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 夹角的大小为.

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{c}{a} = \frac{1 + cos C}{2 - cos A}, c = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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8、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} ＝ 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的最小值为．

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9、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 $O, G, H$ 分别为三角形 $A B C$ 的外心､重心､垂心，且 $M$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ B、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ D、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A O} + \frac{2}{3} \vec{A H}$

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10、在 $△ A B C$ 中，下列结论中，正确的是（）

A、若 $cos 2 A = cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ C、若 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $A = 60^{°}, A C = 4$ ，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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11、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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12、已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，且向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则 $tan ∠ C M A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $C = \frac{π}{3}$ ，若 $\vec{m} = (c - \sqrt{6}, a - b)$ ， $\vec{n} = (a - b, c + \sqrt{6})$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3 $\sqrt{3}$

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14、G是 $△ A B C$ 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 $a \vec{G A} + b \vec{G B} + \frac{\sqrt{3}}{3} c \vec{G C} = \vec{0}$ ，则角 $A =$ （）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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15、在 $△ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B$ 为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ 或 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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16、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} + \vec{a} | - | \vec{b} - \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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17、已知 $f (x)=[ln x +ln(2π− x)]⋅sin x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x +π)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 有3个零点 D、 $∀ x ∈ (0, π]$ ， $f (x)⩽2lnπ$

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18、已知复数数列 $\{z_{n}\}$ 满足 $z_{1} = 1$ ， $z_{n + 1} = \bar{z_{n}} + 1 + n i$ ，其中 $n = 1,2, \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数，则 $z_{2025}$ 的值为（）

A、 $2025 + 4098600 i$ B、 $4049 - 2024 i$ C、 $2025 + 1012 i$ D、 $4049 + 2024 i$

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19、已知集合 $A = {- 1, 0, 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A, x \in R\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 2, 4}$ B、 ${- 1, 0, 1, 4, 16}$ C、 ${- 1, 0, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 16}$

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20、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数，其公差 $d \neq 0$ ， $a_{5} = 6$ .
（Ⅰ）若 $a_{2} \cdot a_{10} > 0$ ，求 $d$ 的值；
（Ⅱ）若 $a_{3} = 2$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{n_{1}}$ ， $a_{n_{2}}$ ， …， $a_{n_{t}}$ ， …（ $5 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{t} < \dots$ ）成等比数列，求 $n_{t}$ ；
（Ⅲ）若 $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{n_{1}}$ ， $a_{n_{2}}$ ， …， $a_{n_{t}}$ ， …（ $5 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{t} < \dots$ ）成等比数列，求 $n_{1}$ 的取值集合.

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