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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + c = 2 b$ ，则 $tan \frac{B}{2}$ 的最大值是．

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2、 ${(1 + x)}^{6} + {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中的所有项的系数之和是．

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3、直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = b x^{3} + x^{2} + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = \frac{n^{2}}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $S_{n} > \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n}})$ C、 $n = 2$ 时， $a_{n}$ 取最大值 D、 $S_{n} > n$

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5、如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（）

A、自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B、自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C、自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D、自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关

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6、在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A D$ ， $D C$ 上的动点，且 $| A D | \cdot | A_{1} M | = | D N |$ ，记 $A_{2} M$ 和 $A_{1} N$ 的交点为 $Q$ ，则 $Q$ 的轨迹的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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7、已知函数 $f (x) = tan(ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有定义，则 $f (\frac{π}{6})$ 的值不可能是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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8、抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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9、一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，则该四棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知 $α$ 是第一象限角，若 $sin 2 α = {cos}^{2} α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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11、已知平行四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} = (1, 0)$ ， $\vec{A D} = (2, 1)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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12、若复数 $z = 2 + i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{5}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{4 + 3 i}{5}$

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13、若集合 $A = \{x ∣ a x^{2} + 1 = 0\}$ 是空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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14、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2} (a > 0)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $M$ 与点 $F_{1}$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴､椭圆 $C$ 顺次交于 $P, Q, R$ （点 $P$ 在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q + ∠ P F_{1} R = π$ ，求 $△ R Q F_{1}$ 面积的最大值.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，证明：若 $\forall n \in N^{*}, \frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq 1$ .

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17、下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第 $n$ 个图形的周长为
若第1个图中的三角形的面积为1，则第 $n$ 个图形的面积为.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，若方程 $f (x) - k = 0$ 有2个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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19、如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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20、已知 $f (x) = a x - e^{a x}, x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $a \neq 0$ 时， $f (x)$ 恒有极值点 C、 $g (x) = f (x) - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恒有零点 D、对于 $x \in R, f (x) \leq (1 - e) a x$ 恒成立

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