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相关试卷

1、如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，当 $n = 9$ 时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B、在“杨辉三角”第 $n$ 行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则 $n$ 为12 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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2、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A D = 4$ ， E、F分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、 $E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $E F ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ C、点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、直线 $E F$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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3、下列说法正确的有（）

A、从 $6$ 件不同的礼物中选出 $3$ 件分别送给 $3$ 名同学，共有 $120$ 种不同方法 B、平面内有 $6$ 个点，以其中 $2$ 个点为端点的线段共有 $15$ 条 C、从 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $13$ 、 $15$ 五个数中任取两个相减可以得到 $20$ 个不相等的差 D、 $4$ 个不同的小球放入编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的 $4$ 个盒子中，恰有一个空盒的放法有 $144$ 种

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4、已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（）种.

A、72 B、144 C、288 D、408

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5、各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数 ${(2501)}_{6}$ 转换为十进制数的算法为 $2 \times 6^{3} + 5 \times 6^{2} + 0 \times 6^{1} + 1 \times 6^{0} = 613$ .若将六进制数 $\underset{7 个 5}{\underset{⏟}{55 \cdot \cdot \cdot 5}}$ 转换为十进制数，则转换后的数被 $7$ 除所得的余数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $5$

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6、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为 $P A$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{P F} = 2 \vec{F C}$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ \vec{Q D}$ ，若 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、已知随机变量X的分布列为
$X$
0
1
$P$
$p$
$1 - p$
若 $D (X) = \frac{p}{4} (0 < p < 1)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8、若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（）种

A、9 B、36 C、54 D、72

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10、已知向量 $\vec{a} = (x, 4, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x y = - 8$ B、 $x y = - 2$ C、 $x y = 2$ D、 $x y = 8$

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11、（1）已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .
①若 $a = 3, b = 5, c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .
②记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .
（2）在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = a, B C = b, C D = c, D A = d$ ，记 $q = \frac{a + b + c + d}{2}$ ，求证：四边形 $A B C D$ 的面积 $S \leq \sqrt{(q - a) (q - b) (q - c) (q - d)}$ .

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12、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ，且 $A D = 2 B C$ ，过 $A_{1}, C, D$ 三点的平面记为 $α$ ， $B B_{1}$ 与 $α$ 的交点为 $Q$ .

(1)、证明： $Q$ 为 $B B_{1}$ 的中点；

(2)、求此四棱柱被平面 $α$ 所分成上下两部分的体积之比；

(3)、若 $A A_{1} = 4, C D = 2$ ，梯形 $A B C D$ 的面积为 $6$ ，求平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成锐二面角的正切值.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A B$ 为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = 2$ ， $O$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $P B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $M C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称中心；

(2)、若 $f (2 x) \geq 1$ ，求 $x$ 的取值范围.

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15、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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16、过 $△ A B C$ 重心 $G$ 的直线 $l$ 与边 $A B, A C$ 交于点 $P, Q$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1) ， \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ ，直线 $l$ 将 $△ A B C$ 分成两部分，分别为 $△ A P Q$ 和四边形 $P Q C B$ ，其对应的面积依次记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ， $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值为.

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17、甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（）

A、若P为棱 $C C_{1}$ 中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ； B、若P在线段A₁B上运动，则 $A P + P D_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ ； C、若p在半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上运动，当三棱锥 $P - A B C$ 体积最大时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $2 π$ D、若过点P的平面 $α$ 与正方体每条棱所成角相等，则 $α$ 截此正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

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20、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 - i$ ，下列选项正确的是（）

A、 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 B、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = i$ C、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ D、 $|z_{1} - z_{2}| = 2$

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$X$	0	1
$P$	$p$	$1 - p$