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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} \ln (x + 1) + a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > - \frac{1}{3}$ ， $f (x) \geq f (0)$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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2、若直线的一个方向向量为 $(3, \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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3、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， A、 $B$ 分别为椭圆 $Γ$ 的左、右顶点.过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $M$ 、 $N$ 两点；当 $k_{1}$ 变化时， $△ A B M$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、当 $k_{1} = 1$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、如图，设 $M$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $P$ ，直线 $A P$ 、 $B N$ 交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B / / C D$ ， $A P = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2 A B = 2 P D = 2 A D = 4$ ，点E是棱 $P C$ 上靠近P端的三等分点.

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(3)、是否存在棱 $P A$ 上一点 $F$ ，使得平面 $B F C$ 与平面 $B F A$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ ？若存在，请指出此时点 $F$ 的位置.

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5、在平面直角坐标系中，已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y + 1 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$

(1)、若直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $|O M| = 2 |O N|$ （ $O$ 为坐标原点），求实数 $k$ 的值.

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6、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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7、已知圆 $M$ ： ${(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 与圆 $N$ 关于直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 对称，且圆 $M$ 上任一点 $P$ 与圆 $N$ 上任一点 $Q$ 之间距离的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > \sqrt{6})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若椭圆上的点P满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为．

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9、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，下列结论正确的是（）

A、平面 $C M N$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形是五边形 B、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、 $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $30^{\circ}$ C、二面角 $A_{1} - A C_{1} - D_{1}$ 的平面角为 $30^{\circ}$ D、点 $D_{1}$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P (2, 2)$ 在圆内 B、圆 $C$ 的圆心坐标为 $(1, 1)$ ，半径 $r$ 为 $2$ C、圆 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $M 、 N$ ，则 $S_{△ C M N} = \sqrt{3}$ D、直线 $l$ ： $x + y + c = 0$ 与圆 $C$ 相切，则 $c = - 2 + 2 \sqrt{2}$

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12、已知椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ､ Q$ 两点，且 $P Q ⊥ F_{1} Q$ ， $S_{△ Q F_{1} F_{2}} = 2 S_{△ P F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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13、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和两点 $A (a, 0), B (- a, 0) (a > 0)$ ，若圆 $C$ 上有且仅有一点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ 或 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点，点Р在椭圆上，若 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ ，则 $|P F_{1}| =$ （）

A、6 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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15、已知点 $A (2, 5)$ ， $B (4, 11)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、2

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16、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．给定函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + \frac{3 x - 4}{x - 1}$ ．

(1)、写出函数 $f (x)$ 图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）；

(2)、试解决以下问题：
（i）判断函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；
（ii）已知函数 $g (x + 1) - 1$ 是奇函数，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - 2 m x + 2 m$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、已知 $f (x) = x |x - 2 a| + a^{2} - 2 a (x \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) = 0$ 有3个实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使不等式 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} - \frac{λ}{x_{3}} < 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c ， a \neq 0$ ．

(1)、若 $a = c = - 1$ ，且 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $b$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1 ， f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，当 $x \in [2 ， 3]$ 时，求 $y = \frac{f (x)}{x - 1}$ 的值域；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 1 ， 2]$ ，求 $c^{2} + \sqrt{1 - b^{2}}$ 的取值范围．

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19、已知集合 $A ={x |2 m - 4 \leq x \leq 2 m} ， B = \{x |x^{2} - 5 x \leq 0\}$ ．

(1)、若 $m = 3$ 时，求 $A \cup B$ 和 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、计算下列各式：

(1)、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{1}{3}} + 2025^{0} - {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{4}} {(\frac{3}{2})}^{- \frac{3}{4}}$ ；

(2)、已知 $a + a^{- 1} = 7$ ，求 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ 的值.

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