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相关试卷

1、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 3$ ，则 $\frac{2 x^{2} + x + y}{3 x y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} - 3}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} + 3}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2} - 3}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} + 3}{9}$

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2、已知函数是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{3^{x}} - x$ ，则不等式 $f (x - 2) < 4$ 的解集（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$

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3、若 $a = {0.2}^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{0.2}$ ， $c = 2^{0.3}$ 则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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4、已知奇函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ ， $y$ 均满足 $f (x - y) = f (x) - f (y)$ ，且 $f (3) = 6$ ，则 $f (- 6) =$ （）

A、12 B、 $- 12$ C、3 D、 $- 3$

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5、“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题 $p$ ：“一个人以学习为乐”，命题 $q$ ：“一个人喜爱学习”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、函数 $y = - 2^{x}$ 与 $y = \frac{1}{2^{x}}$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于直线 $y = x$ 对称 D、关于原点对称

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7、若命题： $p : \exists x > - 1$ ， $x^{3} > 1$ .则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ B、 $\forall x \leq - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ C、 $\forall x > - 1$ ， $x^{3} \leq 1$ D、 $\exists x \leq - 1$ ， $x^{3} \leq 1$

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8、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 1}{4 - x} \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1\}$

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9、定义在区间D上的函数 $y = f (x)$ ，若存在正数K，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq K | x_{1} - x_{2} |$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间D上满足K-条件．若函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - 2 x + 2$ 在区间 $[\frac{1}{e}, 1]$ 上满足K-条件，则K的最小值为．

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10、已知函数 $f (x) = - x ln x + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间以及极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上的最值.

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11、若函数 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + a x (a \in R)$ 的图象存在对称轴，则 $f (x)$ 的最小值为．

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12、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} b_{n}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{5}{2}$ .

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13、从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且右焦点 $F_{2}$ 到上顶点的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过椭圆 $E$ 左焦点 $F_{1}$ ，且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{2} M N$ 的面积．

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15、设抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的焦点为 $F$ ，且焦点到准线的距离为 $2$ ．过点 $C (0, 3)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $Γ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = - 3$ 上有一动点 $D$ ，其横坐标为 $x_{0}$ ．
（i）若 $x_{0} = - 1$ 且直线 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心，求直线 $l$ 的方程；
（ii）是否存在点 $D$ ，使得对任意直线 $l$ 都满足 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心且同时满足 $D A$ 、 $D B$ 同时与 $Γ$ 相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．

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16、已知椭圆 $E$ 过 $A (1, \frac{3}{2}) ， B (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \sqrt{2})$ ，直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $Q$ 为线段 $M N$ 中点，设直线 $M N$ 和直线 $O Q$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、当直线 $M N$ 和直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ 都存在时，证明： $k \cdot k^{'}$ 为定值；

(3)、若 $O$ 关于 $Q$ 的对称点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，证明： $△ M O N$ 的面积为定值．

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17、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (3, - 1)$ 和 $B (2, 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (4, 1)$ 作圆的切线，求切线方程．

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18、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均为1，底面 $A B C D$ 为正方形， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求证： $\vec{B D} ⊥ \vec{A C_{1}}$ ；

(2)、求 $\vec{A C}$ 和 $\vec{A B_{1}}$ 夹角的余弦值．

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19、已知 $λ$ 为任意实数， $M$ 是圆 $C : {(x - t)}^{2} + {(y + t)}^{2} = 1 - 2 t^{2}$ 上任意一点，当 $λ$ 变化时， $M$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 2 + λ (2 x + y + 2) = 0$ 距离的取值范围是．

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20、设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 被直线 $y = x - 4$ 截得的弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{34}$ ，则 $p =$ ．

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