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相关试卷

1、已知 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin x, 2 \sin x)$ ， $\vec{n} = (2 \cos x, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{3}) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $β$ 的值．

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2、若存在 $a \in R, n \in N^{*}$ ，使函数 $f (x) = cos 2 x - a sin x$ 在区间 $(0, n π)$ 内恰有 $2026$ 个零点，则
（1）当 $a = 0$ 时， $n =$ ；
（2）当 $a > 0$ 时，所有满足条件的正整数 $n$ 的值共有个．

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3, A C = 2, ∠ B A C = 90 °$ ，点 $M, N$ 满足 $\vec{C M} = \vec{M B}$ ， $\vec{A N} = 2 \vec{N B}$ ．设线段 $A M$ 与 $C N$ 交于点 $P$ ，则 $\cos ∠ M P N =$ ．

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的最小内角，且 $\tan A$ 为整数， $cos A + a \sin C = 2 \sqrt{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $c = 3$ C、当 $C > B > A$ ，且 $\tan B$ 也是整数时， $\tan C = - 3$ D、 $△ A B C$ 面积的取值范围是 $[\frac{9}{4}, \frac{9}{2}]$

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5、如图，两个边长均为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在的平面相交，其二面角 $C - A B - E$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ．点 $M, N$ 分别是对角线 $A C, B F$ 上的动点，记 $C M = B N = a (0 < a < 2 \sqrt{2})$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 上的一动点．下列结论一定正确的是（）

A、 $M N //$ 平面 $A D F$ B、三棱锥 $C - P B E$ 的体积存在最大值 C、 $M N$ 的最小值是 $1$ D、若点 $A, B, C, D, E, F$ 在同一球的球面上，则该球的体积是 $\frac{28 \sqrt{21} π}{27}$

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6、已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则下面关系中成立的是（）

A、 $V_{1} > V_{2} > V_{3}$ B、 $V_{1} > V_{3} > V_{2}$ C、 $V_{3} > V_{2} > V_{1}$ D、 $V_{2} > V_{1} > V_{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ．若 $\sin B + 2 \sin C \cos A = 0$ ，则角 $B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8、“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为 $\frac{4}{5}$ ．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（）

A、 $\frac{48}{125}$ B、 $\frac{112}{125}$ C、 $\frac{64}{125}$ D、 $\frac{124}{125}$

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9、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到的函数表达式可以是（）

A、 $y = 2 cos 3 x$ B、 $y = - 2 cos 3 x$ C、 $y = 2 \sin 3 x$ D、 $y = - 2 \sin 3 x$

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10、“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战 $2025$ 年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为 $4, 8, 9, 3, 3, 5, 7, 9$ ，则下列说法错误的是（）

A、这组数据的极差为 $6$ B、这组数据的众数为 $3$ C、这组数据的平均数为 $6$ D、这组数据的方差为 $\frac{23}{4}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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12、设复数 $z = \frac{1 + i^{2025}}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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13、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = ．

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15、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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17、如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 $C : y^{2} = x^{3} - 2 x + 2$ 的一部分，则（）

A、点 $(1, 1)$ 在 $C$ 上 B、在 $(1, 1)$ 处 $C$ 的切线，其与 $C$ 的交点的横纵坐标均为整数 C、若 $C$ 在 $x$ 轴上方的部分为函数 $f (x)$ 的图象，则 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $C$ 在 $y$ 轴左边的部分到坐标原点 $O$ 的距离均大于 $\sqrt{2}$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l : y =$ $p x + q$ 与 $C$ 交于P，Q两点，且满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ （ $O$ 为坐标原点），当 $l$ 变化时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明： $q^{2} = p^{2} + 1$ ；

(3)、过点 $O$ 和线段PQ的中点作一条直线与 $C$ 交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．

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19、已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，二面角 $S - A D - B$ 为直二面角， $A D = \frac{4}{3} C D = 2 S D = 4 B C = 4$ ， $∠ B C D = ∠ A D C = ∠ A S D = 90 °$ ， M为棱 $D A$ 上一点.

(1)、证明： $S A ⊥ S C$ ；

(2)、若M为 $D A$ 中点，求二面角 $B - S C - M$ 的正弦值；

(3)、若 $B M //$ 平面 $S C D$ ，点N在平面 $S M B$ 上，若直线 $A N$ 与平面 $S C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $M N$ 的最小值.

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20、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求圆 $C$ 过点 $P (- 2, 1)$ 的切线方程；

(3)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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