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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - ln 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ ､ $F$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B D E$

(2)、若 $A B = B C = 4$ ， $D B = E B$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $D E C$ 夹角的余弦值.

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．且 $S_{13} = 6$ ．则 $3 a_{9} - 2 a_{10} =$ ．

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4、已知椭圆 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则（）

A、椭圆 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $E$ 截得弦长为 $\sqrt{2}$ C、椭圆 $E$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{π}{2}), (k \in Z)$ D、若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，且 $f (A) = f (B)$ ，则 $A = B$ 或 $C = \frac{π}{3}$

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6、为了解某类植物生长 $1$ 年之后的高度．随机抽取了 $n$ 株此类植物．测得它们生长 $1$ 年之后的高度（单位： $cm$ ）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长 $1$ 年之后高度低于 $60 cm$ 的有 $20$ 株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（）

A、 $n = 100$ B、此次检测植物生长高度在 $[70, 90)$ 之间的有 $50$ 株 C、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的众数为 $80 cm$ D、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的第 $85$ 百分位数为 $90 cm$

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7、现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A、120 B、60 C、30 D、20

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8、已知点 $M (1, 2)$ 为抛物线 $E : y^{2} = 2 p x$ 上一点．则点 $M$ 到抛物线 $E$ 的焦点的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知 $i$ 是虚数单位．复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ．则 $z$ 在复平面内对应点的坐标是（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1, 1)$

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10、设全集 $U = R, A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}, B = \{x |x \geq 2\}$ ．则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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11、抽样调查得到10个样本数据，记作 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ ，计算得平均数 $\bar{x} = 7$ ，方差 $s^{2} = 2 ，$ 现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是（）

A、极差变大 B、中位数不变 C、方差变大 D、平均数不变

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则事件 $A, B$ 相互独立 B、已知随机变量 $x \sim B (11, \frac{1}{3})$ ，则 $D (x) = \frac{22}{9}$ C、数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D、已知随机变量 $ξ \sim N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$

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13、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = D C = 4$ ， $A B = 8$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 到点 $P$ 的位置，且 $P E ⊥ B E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $P - B C D E$ ，若 $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $P B$ 上动点.

(1)、当 $N$ 为 $P B$ 的中点时.
①求证：平面 $E M N ⊥$ 平面 $P B C$ ；
②求直线 $P B$ 与平面 $E M N$ 所成角的正弦值.

(2)、若 $\vec{B N} = λ \vec{B P}, λ \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，求二面角 $N - E M - B$ 的正弦值的取值范围.

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14、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $2 a sin (C + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} b$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b > c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $sin (A + B)$ 的值；

(3)、若 $b = 6$ ， $c = 8$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 垂心， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{A O} \cdot \vec{A H}$ 的值.

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15、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 9$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ， N为 $A C$ 的中点，设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B N}$ 、 $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、求 $cos ∠ M P N$ .

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16、在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = C D$ ， $M$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $C M ⊥ A D$ ；

(2)、若 $N$ 为 $B C$ 的中点，过 $M N$ 的平面 $α$ 交平面 $A C D$ 于 $P Q$ ，求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ .

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17、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求使 $f (x) \leq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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18、在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把 $sin (α + β)$ 与 $sin (α - β)$ ， $cos (α + β)$ 与 $cos (α - β)$ 相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如： $sin α + sin β = sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ $= 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ .
如果角 $θ$ 与 $γ$ 满足 $cos θ - cos γ = - \frac{1}{6}$ ， $sin θ - sin γ = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (θ + γ) =$ .

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19、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，若 $a = 8$ ， $\cos A = \frac{1}{7}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $b =$ .

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20、 $cos {52.5}^{\circ} cos {7.5}^{\circ} - sin {52.5}^{\circ} sin {7.5}^{\circ}$ 的值为.

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