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相关试卷

1、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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2、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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3、如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 $C : y^{2} = x^{3} - 2 x + 2$ 的一部分，则（）

A、点 $(1, 1)$ 在 $C$ 上 B、在 $(1, 1)$ 处 $C$ 的切线，其与 $C$ 的交点的横纵坐标均为整数 C、若 $C$ 在 $x$ 轴上方的部分为函数 $f (x)$ 的图象，则 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $C$ 在 $y$ 轴左边的部分到坐标原点 $O$ 的距离均大于 $\sqrt{2}$

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4、如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (a - 2) x - 3, x < 0 \\ a \cdot 2^{x} - 2 a, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2]$

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6、已知 $\tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $\tan (α + β)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\cos (A - B) - \cos (A + B) = \frac{3}{4}$ ，且 $a b = \frac{3}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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8、已知直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + y - 8 = 0$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P，点Q的坐标为 $(1, 2)$ ．

(1)、求经过点Q且与直线 $l_{1}$ 平行的直线方程；

(2)、求线段 $P Q$ 的中垂线方程．

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9、已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据 $15$ ，此时样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 15$ ， $s^{2} < 3$ B、 $\bar{x} < 15$ ， $s^{2} > 3$ C、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} > 3$ D、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} < 3$

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10、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11、已知函数 $f (x) = - x ln x + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间以及极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上的最值.

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12、若函数 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + a x (a \in R)$ 的图象存在对称轴，则 $f (x)$ 的最小值为．

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13、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} b_{n}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{5}{2}$ .

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14、从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且右焦点 $F_{2}$ 到上顶点的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过椭圆 $E$ 左焦点 $F_{1}$ ，且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{2} M N$ 的面积．

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16、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， M，N为线段 $A B$ 上两点，且 $∠ M C N = 30 °$ ．

(1)、若 $C M ⊥ A B$ ，求 $\vec{C M} \cdot \vec{C B}$ 的值；

(2)、设 $∠ A C M = θ$ ，试将 $△ M C N$ 的面积S表示为 $θ$ 的函数，并求其最大值．

(3)、若 $B N = \frac{\sqrt{6}}{8} A M$ ，求 $\cos ∠ A C M$ 的值．

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17、某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）

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18、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{π}{12}, \sin \frac{π}{12})$ ， $\vec{b} = (\sin α, \cos α)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\tan α$ ；

(2)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
①求 $\sin (α + \frac{π}{12})$ ；
②已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\cos 2 α$ .

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19、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{3 b - c}{4 b}}$ ，则 $\frac{2 a}{b}$ 的取值范围是.

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $|\vec{c}| =$ .

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