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相关试卷

1、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) = e^{x}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$ D、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$

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2、毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（）

A、96 B、84 C、72 D、48

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3、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - t x^{2} + 3 x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{19}{2}, + \infty)$ C、 $[3 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, x, 1), \vec{c} = (1, - 2, - 1)$ ，当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{6} \vec{c}$ D、 $- \vec{c}$

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5、自然对数 $e$ 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， $e$ 的近似值约为 $2.7182818 \dots$ ，若用欧拉数的其中 $6$ 位数字 $1, 8, 2, 8, 1, 8$ 设置一个 $6$ 位数的密码，则不同的密码有（）个

A、 $720$ B、 $180$ C、 $60$ D、 $260$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 6, λ)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、8 B、9 C、10 D、11

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7、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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8、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{n}{x}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有唯一零点；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ ．
（i）数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{n + 1 + ln n}{2}$ ．

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9、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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11、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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12、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ ．

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13、已知点 $A$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上， $\vec{A B} = (2, 0)$ ，则原点 $O$ 与 $B$ 的最短距离为．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： ${‖A B‖}_{n} = {({|x_{1} - x_{2}|}^{n} + {|y_{1} - y_{2}|}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ ．若 $s, t \in N^{*}$ ，且 $s < t$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A, B$ 关于x轴对称，则 ${‖A B‖}_{s} = {‖A B‖}_{t}$ B、若 $A, B$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 ${‖A B‖}_{s} \geq {‖A B‖}_{t}$ C、若 ${‖O A‖}_{s} = 2 {‖O B‖}_{s}$ ，则 ${‖O A‖}_{t} = 2 {‖O B‖}_{t}$ D、若 $P = \{M |{||A M||}_{s} \leq 1\}$ ， $Q = \{M {|||A M||}_{t} \leq 1\}$ ，则 $P \subseteq Q$

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15、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x) \geq g (x)$ （当且仅当 $x = 0$ 时，等号成立），则下列结论可能正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \leq g (0)$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \geq g (0)$ C、 $\forall x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$ D、 $\exists x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) < f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$

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16、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x \geq 2 \\ k x, x < 2 \end{array}$ 有最大值，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{ln 2}{4}$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $\frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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17、已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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18、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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19、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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