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相关试卷

1、已知直线 $l$ 的方程为 $x sin α + \sqrt{3} y - 1 = 0, α \in R$ ，则直线 $l$ 的倾斜角范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2}{3} π, π)$ B、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ C、 $(0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{7}$ ， $2 sin A = 3 sin C$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $A C$ 中点，则 $B D =$ （）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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3、用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（）

A、4.5 B、4.8 C、5.4 D、6

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4、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{B C} - \vec{D C} =$ （）

A、 $2 \vec{B D}$ B、0 C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{0}$

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5、复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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6、已知A，B分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = | A B | = 4$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知过点 $(4, 0)$ 的直线 $l : x = m y + 4$ ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）．
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点Q，求证：点Q在定直线上．

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7、如图，已知矩形 $A B C D$ ， $D E = \sqrt{2}$ 所在平面与直角梯形 $A B P E$ 所在平面交于直线 $A B$ ，且 $A B = B P = 2$ ， $A D = A E = 1$ ， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E / / B P$ .

(1)、设点 $M$ 为棱 $P D$ 的中点，求证： $E M / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $C - P D - E$ 的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点 $N$ ，使得直线 $B N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{5}$ ？若存在，试确定点 $N$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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8、已知圆C经过点 $A (1, 5)$ 和 $B (- 2, 2)$ ，且圆心C在直线 $3 x - y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l经过点 $D (4, 1)$ 且与圆C相切，求直线l的方程；

(3)、若直线 $x + \sqrt{3} y + a = 0$ 与圆C相交于E、F两点，且 $∠ E C F = 60 °$ ，求实数a的值.

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9、已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上顶点为 $A (0, 2)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求 $M N$ 的长.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $a_{3} = 6$ ， $S_{6} = 42$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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11、点 $F_{1}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线 $l_{1} ： t x - y + t - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + t y + 2 t - 1 = 0$ 的交点为 B ，则 $|A B| + |A F_{1}|$ 的最小值为.

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12、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 没有公共点，则r的取值范围是.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $a_{2} = 7$ ， $a_{6} = 1$ ，则 $S_{7} =$ .

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14、已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则下列选项正确的是（）

A、 ${(|A F|)}_{\min} = 1$ B、 $△ O A B$ 面积的最小值为2. C、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = 1$ D、 $∠ A O B$ 可能为直角.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过原点的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{Q F_{1}} = 0$ ，且 $△ P F_{2} Q$ 的面积为 $\frac{1}{2} a^{2}$ ，则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：直线 $l$ 是两平面 $x - 2 y + 5 = 0$ 与 $4 x + 2 z + 1 = 0$ 的交线，则下列向量可以为直线 $l$ 的方向向量的是（）

A、 $(3, 1, 2)$ B、 $(1, 1, - 2)$ C、 $(2, 1, 3)$ D、 $(2, 1, - 4)$

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17、已知圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，则直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x - 2 y - 1 = 0$ D、 $2 x - 2 y + 1 = 0$

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18、现定义一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数 $x, y$ ，都有 $x \oplus y = {log}_{a} (a^{x} + a^{y}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $3 \oplus 3$ ；

(2)、证明： $\forall x, y, z \in R$ 都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z);$

(3)、设 $f (x) = x \oplus (x - 1)$ ，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： $年平均盈利额 = \frac{总盈利额}{年数}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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