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1、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为.

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2、在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D,$ $A D = 1, A B = 3, C D = 1,$ $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = \frac{3}{2}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $∠ B A D =$ ；若 $B D$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ ， $N$ 为线段 $A C$ 延长线上的动点，则 $\vec{N P} \cdot \vec{N B}$ 的最小值为．

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3、已知向量 $\vec{a} = (s i n θ, c o s θ)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (3, \sqrt{3})$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = - \sqrt{3}$ B、 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、存在 $θ$ ，使得 $\vec{a}$ 在 $\vec{c} - \vec{b}$ 方向上投影向量的模为1 D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围为 $[1, 3]$

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ C、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{b} |$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$

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5、已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $150 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 3$ C、3 D、9

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6、已知 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{b}$

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7、在边长为4的正方形 $A B C D$ 中， $P$ 在正方形（含边）内，满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若点 $P$ 在 $B D$ 上时，则 $x + y = 1$ B、 $x + y$ 的取值范围为 $[1, 4]$ C、若点 $P$ 在 $B D$ 上时， $\vec{A P} + \vec{A C} = 2 x \vec{A B} + 2 y \vec{A D}$ D、当 $P$ 在线段 $B D$ 上时， $\frac{x^{2} + y^{2}}{3}$ 的最小值为 $\frac{1}{6}$

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8、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支交于点A ，与双曲线 $C$ 的一条渐近线在第一象限交于点 $B$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O B |$ （O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（）
① $| B F_{1} | = \sqrt{4 c^{2} - {| B F_{2} |}^{2}}$ ；
②若 $\vec{A B} = 2 \vec{F_{1} A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率 $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ ；
③ $| B F_{1} | - | B F_{2} | > 2 a$ ；
④ $c - a < | A F_{1} | < \sqrt{2} c - a$ .

A、①② B、①③ C、①②④ D、①③④

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9、在正四面体ABCD中，P是 $△ A B C$ 内部或边界上一点，满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ + μ = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明：当 $| D P |$ 取最小值时， $D P ⊥ B C$ ；

(2)、设 $\vec{D P} = x \vec{D A} + y \vec{D B} + z \vec{D C}$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的取值范围．

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10、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x c o s θ - y s i n θ, x s i n θ + y c o s θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ .现将双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的每个点 $M$ 绕坐标原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为．

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11、设向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，当且仅当 $x_{1} \geq x_{2}$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ 时，则称 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ；当且仅当 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $y_{1} \leq y_{2}$ 时，则称 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ 且 $μ \vec{a} ≫ λ \vec{b}$ ，则 $μ \geq λ$ B、若 $\vec{a} = (2022, 2024)$ ， $\vec{b} = (2023, 2025)$ ，则 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $(\vec{a} + \vec{c}) ≫ (\vec{b} + \vec{c})$ D、若 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $\vec{a} \cdot \vec{c} ≤ \vec{b} \cdot \vec{c}$

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12、设向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若对任意的正数 $m$ ， $n$ ，向量 $m \vec{a} + n \vec{b}$ 始终具有固定的方向，则（）

A、 $x = 6$ B、 $x = 0$ C、 $x = 3$ D、 $x = - \frac{3}{2}$

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13、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{B C}$ .

(1)、用 $\vec{B A}$ ， $\vec{B C}$ 表示 $\overset{⇀}{A C}$ ， $\vec{B D}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ，且 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 9$ ，求 $∠ A B C$ 的大小.

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ， $\vec{c} = (4, - 6)$ .

(1)、若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求实数 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $(t \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $t$ 的值.

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15、在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 5$ ， $∠ A = 3 0^{∘}$ ，点E在线段CB的延长线上，且 $A E = B E$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} =$ .

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16、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，若将 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ 作为平面向量的一个基，则向量 $\vec{A F}$ 可表示为（用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示）.

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17、若向量 $\vec{a} = (x, 4)$ 与向量 $\vec{b} = (1, x)$ 是共线向量，则实数 $x$ = ．

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18、已知平面向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 为三个单位向量，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ （ $x, y \in R$ ），则 $x + y$ 的可能取值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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19、用下列 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 能表示向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (6, 4)$ ， $\vec{e_{2}} = (9, 6)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (m + 1, 2 m - 4)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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