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相关试卷

1、 ${(2 + \sqrt{x})}^{4}$ 的展开式中常数项是（　　）

A、8 B、16 C、24 D、32

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $\frac{1}{15} \leq T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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3、下列说法正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3, - 3)$ C、直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 的方向向量可以是 $\vec{n} = (4, - 3)$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，其中P为平面 $A B C$ 上的一点， $O$ 是平面 $A B C$ 外一点，则有 $x + y = \frac{2}{3}$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为6，离心率 $\sqrt{3}$ ．过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M D_{1}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ （D和A重复了）

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6、若 $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．如图，已知 $△ A B C$ 中， $B C = a, A C = b, A B = c$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．

(1)、若 $b = c$ ，且满足 $\frac{P B}{P A} = \sqrt{3}$ ，
①求 $∠ A B C$ 的大小；
②若 $\frac{P C}{P B} = \sqrt{3}$ ，求布洛卡角 $θ$ 的正切值；

(2)、若 $P B$ 平分 $∠ A B C$ ，试问是否存在常实数 $t$ ，使得 $b^{2} = t a c$ ，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．

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7、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B_{1} C ⊥ A B$ ，点 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 3$ ，求直线 $C D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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8、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍， $E F // A B$ ，侧面 $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 为等边三角形，且与底面所成角相等；若 $A B = A D = 4$ ， $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{11}$ ，则该刍甍的体积为．

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9、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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10、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $\sin α \sin β = \frac{4}{5}$ B、 $cos (α - β) = 1$ C、 $\tan α + \tan β = 4$ D、 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$

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11、下列说法错误的是（）

A、在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $x + y = a (a \in R)$ 表示 B、方程 $m x + y - 2 = 0 (m \in R)$ 表示的直线斜率一定存在 C、经过点 $P (1, 2)$ ，倾斜角为 $α$ 的直线方程为 $y - 2 = tan α (x - 1)$ D、经过两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 的直线方程为 $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$

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12、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边 $△ A B C$ ，若 $D F = 2$ ， $\sin ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ．则 $B D =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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13、已知直线 $l$ 的方程为 $x sin α + \sqrt{3} y - 1 = 0, α \in R$ ，则直线 $l$ 的倾斜角范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2}{3} π, π)$ B、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ C、 $(0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{7}$ ， $2 sin A = 3 sin C$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $A C$ 中点，则 $B D =$ （）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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15、用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（）

A、4.5 B、4.8 C、5.4 D、6

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16、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{B C} - \vec{D C} =$ （）

A、 $2 \vec{B D}$ B、0 C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{0}$

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17、复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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18、现定义一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数 $x, y$ ，都有 $x \oplus y = {log}_{a} (a^{x} + a^{y}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $3 \oplus 3$ ；

(2)、证明： $\forall x, y, z \in R$ 都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z);$

(3)、设 $f (x) = x \oplus (x - 1)$ ，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： $年平均盈利额 = \frac{总盈利额}{年数}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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