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相关试卷

1、设等比数列{a_n}的前n项和是S_n ， a₂＝﹣2，a₅＝﹣16，则S₆＝（　　）

A、﹣63 B、63 C、﹣31 D、31

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2、微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0), f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x$ 便是由直线 $x = a, x = b, y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $A B Q P$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = \ln b - \ln a$ ，因为曲边梯形 $A B Q P$ 的面积小于梯形 $A B Q P$ 的面积，即 $S_{曲边梯形 A B Q P} < S_{梯形 A B Q P}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\frac{a - b}{ln a - ln b} > \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ ．

(1)、请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\frac{a - b}{ln a - ln b} < \frac{a + b}{2}$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + x ln x$ ，其中 $a, b \in R$ ．
①证明：对任意两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线均不重合；
②当 $b = - 1$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2 sin (x - 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $α (0 < α < 1)$ ， $1 - α$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $β (0 < β < 1), 1 - β$ ．假设每次信号的传输相互独立．

(1)、当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 $f (α)$ ，求 $f (α)$ 的最小值；

(2)、当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 $X$ （ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中任意相邻的数字均不相同时，令 $X = 1$ ），若 $β = \frac{2}{3}$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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4、已知函数 $f (x) = a {(x + 1)}^{2} - x - \ln x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) \geq 2 a - \frac{1}{2 a} + 1$ .

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5、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (2, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (π - α) + \cos (α - π)}{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{π}{2} - α)} =$ ．

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6、已知定义域均为 $R$ 的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，其导函数分别为 $f^{'} (x)$ 与 $g^{'} (x)$ ，且 $g (3 - x) = f (x + 1) - 2$ ， $g^{'} (x + 1) = f^{'} (x - 1)$ ，函数 $f (x)$ 的图像关于点 $M (3, 0)$ 对称，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、8是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $g (5) = 2$ D、 $g (- 2020) + g (- 2024) = - 4$

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7、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a + \ln b < 0$ D、 $\sin a \sin b < \frac{1}{4}$

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8、已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x - \frac{7 π}{12})$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 6$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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9、将函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $y = g (x)$ 在区间 $[0, \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、3

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10、“ $α = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ ”是“ $\frac{\sqrt{3} \cos^{2} α + \sin^{2} α}{\sin α \cos α} = \sqrt{3} + 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知函数 $f (x) = \ln (1 + e^{a x}) - b x$ 是偶函数， $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$

(1)、求 $\sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a + 1}$ 的最小值 $;$

(2)、当 $b = 1$ 时，
（i）令 $g (x) = f (1 - x) + f (1 + x)$ ， $x \in [- 1 ， 1]$ ，求 $g (x)$ 的值域 $;$
（ii）记 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ ，已知 $- 1 \leq x_{i} \leq 2$ ， $(i = 1, 2, ..., 1000)$ ，且 $\sum_{i = 1}^{1000} x_{i} = 1000$ ，当 $\sum_{i = 1}^{1000} f (x_{i})$ 取最大值时，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{1000}^{2}$ 的值．

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12、已知直线 $l_{1} : m x - y + m = 0$ ， $l_{2} : x + m y - m (m + 1) = 0$ ， $l_{3} : (m + 1) x - y + (m + 1) = 0$ ，记 $l_{1} \cap l_{2} = C$ ， $l_{2} \cap l_{3} = B$ ， $l_{3} \cap l_{1} = A$ ．
（1）当 $m = 2$ 时，求原点关于直线 $l_{1}$ 的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值， $△ A B C$ 总有一个顶点为定点；
（3）求 $△ A B C$ 面积的取值范围 $. ($ 可直接利用对勾函数的单调性 $)$

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13、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}, A B ⊥ B C, A C ⊥ B B_{1}$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面ABC， $A B = 3, B C = 2, B B_{1} = 1, \vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ， $A_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 交于D．

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与DE的距离．

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14、中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关 $.$ 研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是 $θ_{1} ℃$ ，室温是 $θ_{0} ℃$ ，那么 $t \min$ 后茶水的温度 $θ ($ 单位： $℃)$ ，可由公式 $θ (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是常数，为了求出这个 $k$ 的值，某数学建模兴趣小组在 $25 ℃$ 室温下进行了数学实验，先用 $85 ℃$ 的水泡制成 $85 ℃$ 的茶水，利用温度传感器，测量并记录从 $t = 0$ 开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
$t (\min)$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$θ (℃)$
$85.00$
$79.19$
$74.75$
$71.19$
$68.19$
$65.00$

(1)、请你利用表中的一组数据 $t = 5$ ， $θ = 65.00$ 求 $k$ 的值，并求出此时 $θ (t)$ 的解析式 $($ 计算结果四舍五入精确到 $0.01)$ ；

(2)、在 $25 ℃$ 室温环境下，王大爷用 $85 ℃$ 的水泡制成 $85 ℃$ 的茶水，想等到茶水温度降至 $55 ℃$ 时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间 $? ($ 计算结果四舍五入精确到 $1$ 分钟 $)$ ．
参考数据： $\ln 3 \approx 1.0986$ ， $\ln 2 \approx 0.693$ ， $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$

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15、设 $x - y + 1 = 0$ ，求 $d = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 34} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 30 y + 229}$ 的最小值是.

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16、若函数 $f (x) = a - \frac{b}{2^{x} - b} (b > 0)$ 为奇函数，则 $a + b =$

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17、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, A D$ 的中点， $\vec{B_{1} G} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则（）

A、无论 $λ$ 取何值，三棱锥 $C - E F G$ 的体积始终为 $1$ B、若 $λ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\vec{E G} \cdot \vec{B D_{1}} = 2 + \sqrt{2}$ C、点 $D_{1}$ 到平面 $E F G$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、若异面直线 $E F$ 与 $A G$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{22}$ ．则 $λ = \frac{7}{10}$

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18、已知 $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ，函数 $f (x) = a {(\frac{1}{e})}^{|x|} + b$ 的图象经过原点，且无限接近直线 $y = e$ 又不与该直线相交，则（）

A、 $a = e$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, e)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (ln 3) = f (ln \frac{1}{3})$

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19、设 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2 x + b (b$ 为常数），则下列说法正确的是（）

A、 $f (b) = - 3$ B、 $f (- 3) = 13$ C、 $f (x)$ 在 $(－ \infty ， 0)$ 上是单调减函数 D、函数 $f (x)$ 仅有一个零点

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20、在矩形 $A B C D$ 中， $A D = a$ ， $A B = b$ ， $b > a ．$ 将 $▵ A C D$ 沿着 $A C$ 翻折，使 $D$ 点在平面 $A B C$ 上的投影 $E$ 恰好在直线 $A B$ 上，则此时二面角 $B - A C - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ B、 $\frac{a}{b}$ C、 $\frac{\sqrt{a b}}{b}$ D、 $\frac{a + b}{2 b}$

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$t (\min)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$θ (℃)$	$85.00$	$79.19$	$74.75$	$71.19$	$68.19$	$65.00$