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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x - a + ln x}{x}, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 2$ 时，不等式 $f (x) < t e^{x - 3}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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2、设函数 $f (x) = sin ω x cos φ + cos ω x sin φ (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $tan φ$ 的值.

(2)、若 $φ = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上为增函数，求 $ω$ 的最大值.

(3)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $ω, φ$ 的值.条件①： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}]$ 上单调递减；条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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3、已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{cases} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, 0 < x \leq 10 \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, x > 10 \end{cases}$ .
（注：年利润=年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润W（万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

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4、已知 $α, β$ 为锐角， $tan α = \frac{4}{3}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos 2 α$ 与 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α - β)$ 的值.

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5、设 $A (0, 0), B (4, 0), C (t + 4, 4), D (t, 4) (t \in R)$ ，记 $N (t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横､纵坐标都是整数的点，则函数 $N (t)$ 的值域为.

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6、若函数 $f (x) = cos 2 x - 2 a cos x - 2 < 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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7、定义：实数 $x, y, m$ 满足 $|x - m| > |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$ .已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D = \{x ∣ x \neq \frac{k π}{3}, k \in Z\}$ ，任取 $x \in D, f (x)$ 等于 $3 cos x$ 和 $1 - cos 2 x$ 中远离0的那个值，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 3]$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{4 π}{3}, - π)$ 上单调递减

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ ，其中 $a$ ， $b$ 为实数，则下列条件能使函数 $f (x)$ 仅有一个零点的是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 3$ ， $b = 2$ C、 $a = 0$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 2$

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9、已知 $a > 0, b > 0, m > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列一定正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\sqrt{a} sin m + \sqrt{b} cos m \leq 1$

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10、已知实数x，y满足： $x + 2^{x} = 2$ ， $2 y + \log_{2} y = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的值是（）．

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y = \sin 2 x$ ， $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ ， $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是

A、 B、 C、 D、

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12、直线 $y = k x + b$ 与函数 $y = e^{x - 1}$ 和 $y = e^{x} - 2$ 的图象都相切，则 $b =$ （）

A、2 B、 $ln 2$ C、 $1 + ln 2$ D、 $- 2 ln 2$

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13、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- tan α, - 3)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、已知 $a = {log}_{0.2} 0.3, b = {log}_{2} 3, c = {log}_{3} 4$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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15、设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $a = 1$ ， $k$ 为整数，且当 $x > 0$ 时， $(x - k) f^{'} (x) + x + 1 > 0$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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16、在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 $3$ 次；在 $A$ 处每投进一球得 $3$ 分，在 $B$ 处每投进一球得 $2$ 分；如果前两次得分之和超过 $3$ 分即停止投篮，否则投第三次.同学在 $A$ 处的命中率 $q_{1}$ 为 $0.25$ 0，在 $B$ 处的命中率为 $q_{2}$ ，该同学选择先在 $A$ 处投一球，以后都在 $B$ 处投，用 $ξ$ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
$ξ$ $0$ $2$ $3$ $4$ $5$
$p$ $0.03$ $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{3}$ $p_{4}$
（1）求 $q_{2}$ 的值；
（2）求随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

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17、如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．

(1)、求证：AB⊥A₁C；

(2)、求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值；

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{3} b sin C$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ， $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}} =$ .

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20、已知椭圆的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆的标准方程为．

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$ξ$	$0$	$2$	$3$	$4$	$5$
$p$	$0.03$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$p_{4}$