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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $P F$ 与双曲线 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，若 $\frac{\sqrt{7}}{2} | P F | \geq | P A |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是．

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2、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 都是等边三角形， $A B = 2$ ， $P C = 1$ ， $D$ 为棱 $A B$ 上一点，则 $\vec{P D} \cdot \vec{C D}$ 的最小值是．

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3、已知与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 都相切的直线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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4、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 9$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ ．

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5、数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线 $C$ ： $x^{n} + y^{n} = 1 (n > 0)$ ，当 $n = 2$ 时，是我们熟知的圆；当 $n = \frac{2}{3}$ 时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线 $C$ 的结论正确的是（）

A、对任意正实数 $n$ ，曲线 $C$ 恒过2个定点 B、存在无数个正实数 $n$ ，曲线 $C$ 至少有4条对称轴 C、星形线围成的封闭图形的面积大于2 D、星形线与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 有四个公共点

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6、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $\{a_{n}\}$ 有最大项 C、 $\{S_{2 n}\}$ 是递增数列 D、 $\{S_{n}\}$ 有最小项

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7、已知直线 $l$ ： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(3, 1)$ B、原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{10}$ C、若点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离相等，则 $m = - \frac{1}{2}$ D、若直线 $l$ 经过一、二、三象限，则 $- \frac{4}{7} < m < - \frac{1}{2}$

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8、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（）

A、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}}$ B、 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}}$ C、 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}}$ D、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 均为等差数列，它们的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ， $a_{n} b_{n} = n^{2} + 36 n$ ， $S_{23} = T_{23}$ ，则 $a_{1} + b_{1} =$ （）

A、 $\frac{27}{2}$ B、 $\frac{31}{2}$ C、 $\frac{37}{2}$ D、 $\frac{41}{2}$

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10、如图，把正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 进行翻折，点 $E$ ， $F$ 满足 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{C B} = 3 \vec{C F}$ ， $O$ 是原正方形 $A B C D$ 的中心，当 $∠ E O F = \frac{5 π}{6}$ ，直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3} - 6}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，A， $B$ 是椭圆 $C$ 上关于 $x$ 轴对称的不同的两点，则 $|A F_{1}| \cdot |B F_{2}|$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 3]$ B、 $(3, \frac{7}{2}]$ C、 $(\frac{7}{2}, 4]$ D、 $(3, 4]$

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12、已知点 $P$ 为圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 外一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，且 $P A ⊥ P B$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (x, 4, 1)$ ， $\vec{b} = (2, y, - 2)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + 2 y =$ （）

A、 $- 17$ B、 $- 1$ C、1 D、17

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14、抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的准线方程是

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = 1$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $x = - 1$

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ， $a_{1} = - 1$ ，则（）

A、 $a_{1} < a_{4}$ B、 $a_{1} = a_{4}$ C、 $a_{2} < a_{3}$ D、 $a_{2} = a_{3}$

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16、直线 $x = \sqrt{3}$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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17、已知点 $P$ 是圆 $S : x^{2} + y^{2} = 1$ 的动点，过 $P$ 作 $P H ⊥ y$ 轴， $H$ 为垂足，且 $\vec{H Q} = t \vec{H P}$ ， $\vec{H R} = \frac{1}{t} \vec{H P} (t > 1)$ ，记动点 $Q$ ， $R$ 的轨迹分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、证明： $S_{1}$ ， $S_{2}$ 有相同的离心率；

(2)、若直线 $l : y = k x - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 与曲线 $S_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ ，与曲线 $S_{2}$ 交于 $C$ ， $D$ ，与圆 $S$ 交于 $M$ ， $N$ ，当 $k > \sqrt[4]{3}$ 时，试比较 ${|A B|}^{2} + {|C D|}^{2}$ 与 $2 {|M N|}^{2}$ 的大小．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - x (a > 0)$ 在定义域上不是单调函数．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域上的极大值为 $M$ ，极小值为 $N$ ，求 $M + N$ 的取值范围．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 3$ ， $d \neq 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{7}$ ， $a_{25}$ 构成等比数列，

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $f (n) = a_{n}$ ，若存在数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 7$ ， $b_{3} = 25$ ，且数列 $\{f (b_{n})\}$ 为等比数列，求 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20、如图在等腰梯形 $A B C D^{'}$ 中， $A B / / C D^{'}$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $D C$ ， $A E$ ， $B C$ 的中点，现将 $△ D A E$ 绕 $A E$ 翻折至 $△ D A E$ 的位置， $H$ 为 $C D$ 的中点．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $E G H$ ；

(2)、当平面 $D A E$ 垂直于平面 $A B C$ 时，求平面 $D A E$ 与平面 $H G E$ 夹角的余弦值．

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