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相关试卷

1、在如图所示的几何体中，平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A C B = 90 °$ ， $E F ∥ B C$ ， $A C = B C = \sqrt{2}$ ， $A E = E C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B C E F$ ；

(2)、求三棱锥 $D - A C F$ 的体积．

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2、已知三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且这些边和角的关系满足 $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = a$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、空间四边形ABCD中， $A B = 2, B C = C D = 1, A D = 3$ ，且异面直线AD与BC成 $60 °$ ，异面直线AB与CD所成角的正切值为.

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4、已知幂函数 $f (x)$ 过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，则实数a的取值范围是.

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5、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若 $\sin θ + \cos θ = \frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为．

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 满足 $f (x - y) = g (x) g (y) + f (x) f (y)$ ，且 $g (1) = 1$ ， $g (0) = 0$ ， $g (- 1) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f^{2} (x) + g^{2} (x) = f (0)$ B、 $f (1) = 1$ C、 $g (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称

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7、若 $P (A B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则关于事件A与B的关系正确的是（）

A、事件A与B互斥 B、事件A与B不互斥 C、事件A与B相互独立 D、事件A与B不相互独立

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8、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a \neq 0, b \neq 0)$ 表示 D、已知直线l过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3), B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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9、如图，若 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积变化. B、若 $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面ABCD内运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值是 $\sqrt{6}$ C、使直线AP与平面ABCD所成的角为 $45^{°}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π + 4 \sqrt{2}$ D、当 $P$ 在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$

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10、一动圆与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 外切，同时与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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11、空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A},$ 点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \bar{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \bar{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、两条平行直线 $x + y + 4 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 3 = 0$ 间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$

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13、若 $a \in R$ ，则“ $a > 3$ ”是“ $a^{2} > 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、如图所示，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ B、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$

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15、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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16、已知集合 $M = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{- 1, 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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17、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} + x + a$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 对于任意的 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ （ $n \in N^{*}$ ），记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} + \frac{1}{3} < \ln [(n + 1) (n + 2)]$ ．

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18、下列等式成立的有（）

A、 $tan 25 ° + tan 35 ° + \sqrt{3} tan 25 ° tan 35 ° = \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} cos 15 ° - \frac{\sqrt{2}}{2} sin 15 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 cos 10 ° - sin 20 °}{cos 20 °} = 1$ D、 $\frac{1}{sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{cos 10 °} = 4$

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19、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 9\}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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20、近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 $5 G$ ，但这并没有让华为怯步.2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机 $x$ （单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为 $R (x)$ （单位：万元），且 $R (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 50 x, 0 < x < 50, \\ 651 x + \frac{10000}{x} - 9480, x \geq 50. \end{array}$ 假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．

(1)、写出此款手机的年利润 $W (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）

(2)、根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？

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