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相关试卷

1、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60^{°}$ .

(1)、求证：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是 $a, b, c, △ A B C$ 的面积记为 $S$ ，已知 $3 c \sin C = \frac{S}{a \cos A}, \sin B = 3 \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若BC边上的中线长为1，AD为角 $A$ 的平分线，求CD的长.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + b \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线平行于 $x$ 轴.

(1)、求 $a$ 与 $b$ 的关系；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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4、若 ${(\sqrt{3} + i)}^{99} = x + y i$ ，则 $x + 2 y =$ .

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点 $F$ 的对称点为 $B^{'}$ .若过 $A, B^{'}, F$ 三点的圆的半径为 $a$ ，则 $C$ 的离心率为.

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6、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 3 (a_{2} + a_{4} + a_{m})$ ，则 $m =$ .

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7、2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 $\cdot$ 伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 距离之积等于定值 $c^{2} (c > 0)$ 的点的轨迹称为双纽线，已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双纽线 $C$ 上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（）

A、 $|P O|$ 的最大值为 $\sqrt{3} c$ B、双纽线是中心对称图形 C、 $- \frac{c}{2} \leq y_{0} \leq \frac{c}{2}$ D、 $P$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 距离之和的最小值为2c

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{5} = 1$ ，设该等比数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{3} + a_{7} \geq 2$ B、当 $q > 1$ 时， $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $S_{n}$ 单调递增的充要条件为 $q > 0$ D、当 $q > 1$ 时，满足 $T_{n} > 1$ 的 $n$ 的最小值为9

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9、函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $x = - \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 B、 $f (x)$ 与函数 $y = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ 相等 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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10、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (2^{x}) - 4^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1)$

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11、为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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12、直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $3 x + y - 9 = 0$ 所成角是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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13、正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}, \vec{B Q} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，则异面直线 $P Q$ 与 $B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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14、某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 $y = a \log_{3} x + b$ 来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（）秒.

A、15 B、16 C、18 D、20

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15、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{5}, \sin (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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16、已知向量 $\vec{a} = (3, m), \vec{b} = (m - 5, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、15

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17、一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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18、设函数 $f (x) = a x^{2} - a x + 1$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \in R$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 - x$ 的解集；

(3)、对于任意的 $x \geq 1$ ，不等式 $f (x) \geq x + 1 - 4 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知 $A B = 3$ 米， $A D = 2$ 米．

(1)、要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

(2)、当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} - 1}$ 是定义域 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.
（1）确定 $f (x)$ 的解析式；
（2）用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数；
（3）解不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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