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相关试卷

1、已知复数z满 $z i = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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2、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则 $f (\frac{1}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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4、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = \frac{3}{4}$ ， $\cos (α - β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ ；

(2)、求 $\sin β$ .

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5、函数 $f (x) = 4 x + \frac{9}{x + 1}$ ， $x \in (- 1, + \infty)$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ \vec{C C_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 不可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ 、P、C的截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{4}, \sqrt{2}]$ D、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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7、已知 $f (x) = - x^{2} - \cos x$ ，若 $a = f (e^{- \frac{3}{4}})$ ， $b = f (\ln \frac{4}{5})$ ， $c = f (- \frac{1}{4})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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8、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ .若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A M B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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9、已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为．

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10、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数，若 $\exists k \in (0, + \infty)$ ，使得 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”．下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 是区间 $[- 1, 2]$ 上的 “ 3 类函数” B、函数 $f (x) = sin x - x cos x$ 是区间 $[1, \frac{π}{2}]$ 上的 “ 2 类函数” C、若函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”，则方程 $f (x) = (k + 1) x$ 在区间 $[a, b]$ 上至多只有一个解 D、若函数 $f (x)$ 是区间 $[0, 1]$ 上的 “ 2 类函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x) ， \exists x_{1} ， x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$

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11、已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - a x + 2, a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} > \frac{1}{2} \ln \frac{2 n + 1}{3} (n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）

(3)、若对任意 $x > 0$ ，都有 $f (x + 1) \geq 1 - a - \frac{e^{x - 2}}{x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、已知向量 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{2}, \vec{b} = (1, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(2, - 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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13、某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格 $P (x)$ （单位：元/千克）关于第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ 的函数关系近似满足 $P (x) = 10 + \frac{2}{x}$ .日销售量 $Q (x)$ （单位：千克）关于第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
9
14
18
22
29
$Q (x)$
54
59
63
59
52

(1)、给出以下四种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = a |x - m| + b$ ；③ $Q (x) = a^{x} + b$ ；④ $Q (x) = b {log}_{a} x$ .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量 $Q (x)$ 关于第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数的解析式：

(2)、设该工艺品的日销售收入为函数 $y = f (x)$ （单位：元）：求函数 $f (x)$ 的最小值.

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14、已知 $a$ 是第二象限角， $\sin a = \frac{5}{13}, 则 cos a =$

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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15、已知函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = 3^{x} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{0})$ ，则整数m的取值集合真子集的个数为

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 2 ， A C ⊥ B C ， P A = P B = P C ， M ， E ， F$ 分别是 $A B ， P A ， P B$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四面体 $B C E F$ 的体积为 $1$ ，求 $P M$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $\vec{C D} = λ \vec{C P} (0 < λ < 1)$ ，求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值.

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17、若指数函数 $f (x) = {(2 a - 1)}^{x}$ 在 $R$ 上是严格增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18、在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E$ 为棱 $D C$ 上的动点， $F$ 为线段 $B^{'} E$ 的中点.给出下列四个
① $B^{'} E ⊥ A D^{'}$ ；
②直线 $D^{'} F$ 与平面 $A B B^{'} A^{'}$ 所成角不变；
③点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离不变；
④点 $F$ 到 $A, D, D^{'}, A^{'}$ 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（）

A、②③ B、③④ C、①③④ D、①②④

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 上的投影为 $A C$ 的中点D，且 $A B = 2$ .

(1)、求点 $C_{1}$ 到直线 $A B$ 的距离；

(2)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线 $D E$ 与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ?若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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20、求下列各圆的方程.

(1)、圆心为点 $C (8, - 3)$ ，且过点 $A (5, 1)$ ；

(2)、过 $A (- 1, 5)$ ， $B (5, 5)$ ， $C (6, - 2)$ 三点．

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$x$	9	14	18	22	29
$Q (x)$	54	59	63	59	52