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相关试卷

1、某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（）

A、70和50 B、70和67 C、75和50 D、75和67

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 0, \sqrt{3})$ ，单位向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3、本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为 $20 %$ ，下雨的概率为 $30 %$ ，吹南风或下雨的概率为 $35 %$ ，则既吹南风又下雨的概率为（）

A、 $30 %$ B、 $15 %$ C、 $10 %$ D、 $6 %$

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4、下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l / / α$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是空间的一组基底，则向量 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ 也是空间一组基底 C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} // \vec{c}$ D、若 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面

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5、一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计事件M发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6、已知函数 $f (x) = x ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$ D、 $y = f (x)$ 在 $(1, 0)$ 点处切线为 $y = x - 1$

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7、若 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ， $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ D、 $a |c| > b |c|$

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8、两条都与 $y$ 轴平行的直线之间的距离为 $6$ ，它们与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 和圆 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，则 $|A B| \cdot |C D|$ 的最大值为.

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9、如图，曲线 $C$ 可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线 $C$ 上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值 $a$ （ $a > 0$ ），则（）

A、曲线 $C$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线 $C$ 经过点 $(- 1, - 1)$ ，其方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 2 \sqrt{2} |x y|$ C、曲线 $C$ 围成的图形面积小于 $\frac{a^{2} π}{8}$ D、存在 $a \in (2, 6)$ ，使得曲线 $C$ 上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

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10、在四面体 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D = 2, A B ⊥$ 平面 $A C D$ ， $∠ C A D = 60 °$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $B C, A D$ 上的点，且 $\vec{B E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{F D}$ ，则直线 $A E$ 与直线 $C F$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{70}}{35}$ B、 $\frac{2 \sqrt{70}}{35}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{35}$ D、 $\frac{\sqrt{70}}{70}$

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11、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 4 m y + 6 = 0$ 关于直线 $m x + y + 3 = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-3 C、1或-3 D、-1或3

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12、函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ 的最小正周期为

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13、已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) < 0$ 时，求实数a的取值范围.

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14、中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?

(2)、为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 $x$ 元.公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

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15、已知函数 $f (x + 3)$ 的定义域为 $[- 2, 4)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为．

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16、设 $x \in R$ ，则“ $x < 3$ ”是“ $x (x - 2) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、柜子里有3双不同的鞋，分别用 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ； $b_{1}$ ， $b_{2}$ ； $c_{1}$ ， $c_{2}$ 表示6只鞋，其中 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ 表示每双鞋的左脚， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求下列事件的概率：
①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.

(3)、求取出的鞋不成双的概率.

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18、已知集合 $A = \{x | x > - 1\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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19、某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛.随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成 $[160, 165), [165, 170), \cdot \cdot \cdot, [180, 185)$ 共五组后，得到的频率分布图表如下所示：

(1)、求这100名参赛者得分的第85百分位数；

(2)、估计这100名学生的成绩的平均数.

(3)、为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.

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20、已知点 $A (1, 5), B (- 2, 10)$ ，直线 $l : y = x + 1$ ，在直线 $l$ 上找一点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则这个最小值为（）

A、 $\sqrt{34}$ B、8 C、9 D、10

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