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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为 $45^{°}$ ，底面ABCD为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{°}, A D = 2, P A = B C = 1$ .

(1)、求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(2)、求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；

(3)、N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为 $\frac{1}{3}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最值，并求出此时对应的 $x$ 的值；

(3)、若 $g (x) = f (x) + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{5} = 24$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
条件①：设 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n - 1}$ ；
条件②：设 $b_{n} = a_{n} + 2 n$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + a, x < a \\ x^{2} + 2 a x, x \geq a \end{array}$ 给出下列四个结论：
①当 $a = - \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 存在最小值；
②当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 存在唯一的零点；
③ $f (x)$ 的零点个数为 $g (a)$ ，则函数 $g (a)$ 的值域为 $\{0, 1, 2, 3\}$ ；
④当 $a \geq 1$ 时，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq 2 f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ .
其中所有正确结论的序号是.

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5、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$
①给出一个 $ω$ 的值，使得 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到的函数 $g (x)$ 的图像关于原点对称， $ω =$ ；
②若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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6、数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1} =$ ； $S_{n} =$ .

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7、函数 $f (x) = \frac{lg (3 x + 1)}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域是．

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8、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ．那么 $t min$ 后物体的温 $θ$ （单位：℃）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却， $1 min$ 以后物体的温度是38℃，则k的值约为 $(\ln 3 \approx 1.10, \ln 7 \approx 1.95)$ （）

A、0.25 B、 $- 0.25$ C、0.89 D、 $- 0.89$

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9、设 $a = {log}_{3} 0.4, b = {log}_{4} 3, c = 3^{0.4}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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10、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 单调递增的函数是（）

A、 $y = \ln x$ B、 $y = 3^{- |x|}$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = |x| + 1$

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11、设复数z满足 $(2 - i) z = 2 + i$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知集合 $A = {x \in Z | (x + 2) (x - 1) < 0}$ ， $B = \{- 2, - 1\}$ ，那么 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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13、棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、1 B、－1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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14、已知直线 $l : 3 x - 2 y + 2 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角是钝角 B、 $l$ 的一个方向向量为 $(2, 3)$ C、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、 $l$ 与直线 $m : x - y - 1 = 0$ 垂直

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15、已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为.

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16、若 $(2 + i) \cdot z = 1 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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17、已知三棱锥 $P - A B C, P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, P A = A B = 2 B C$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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18、棱长为 $a$ 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（）

A、 $\frac{3}{4} π a^{2}$ B、 $3 π a^{2}$ C、 $6 π a^{2}$ D、 $12 π a^{2}$

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19、已知空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, 3, 2)$ 关于坐标原点的对称点为 $P_{1}$ ，则 $|P P_{1}| =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{14}$ C、 $14$ D、 $56$

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, λ) (λ \in R)$ ，若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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