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相关试卷

1、直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

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2、已知两个数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $p$ ，且对于数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, p$ ，若存在 $b_{k}$ 满足：① $\forall i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，都有 $a_{i} \leq b_{k}$ ；② $\exists i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，使得 $a_{i} = b_{k}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.

(1)、已知 $a_{n} \in N^{*}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的单极数列为 $1, 2, 2, 3, 3, 3$ ，求满足条件的 $\{a_{n}\}$ 的个数.

(2)、已知 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.
（i）若 $a_{k + 1} + 2 b_{p - k} = k$ ，求 $a_{k} - b_{k}$ .
（ii）若 $a_{n} = \{\begin{matrix} λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n + 1}{2}} \cdot n, n 为奇数 \\ λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n}{2}} \cdot n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，当 $\frac{1}{2} < λ < 1$ 时，证明： $0 < \sum_{i = 1}^{100} (b_{i} - a_{i}) < 1263$ .

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F_{1}, F_{2}$ 上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点 $N (4, 4)$ ，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A、存在4个点M，使得 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ B、直线 $M A$ 与直线 $M B$ 斜率乘积为定值 $- \frac{25}{9}$ C、 $\frac{1}{|M F_{1}|} + \frac{1}{|M F_{2}|}$ 有最小值 $\frac{18}{5}$ D、 $| M N | + |M F_{1}|$ 的取值范围为 $[4 \sqrt{5}, 14]$

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4、若圆 $A : {(x - m)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 与圆 $B : {(x - 2 m)}^{2} + y^{2} = 8$ 有且仅有一条公切线，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、0

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5、函数 $f (x) = \log_{a} (4 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象定点 $A (m, n)$ ，若对任意正数 $x, y$ ，都有 $m x + n y = 3$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6、已知集合 $M = \{x| y = ln (1 - 2 x)\}, N = \{y| y = e^{x}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $\emptyset$

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7、著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 $S = a b π$ （a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且右顶点A与上顶点B的距离 $|A B| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆C的面积；

(2)、若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求 $△ O P Q$ 的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A， $A D ⊥ P Q$ ， D为垂足．是否存在定点T，使得 $|D T|$ 为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．

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8、已知 $a = π^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{π}$ ， $c = \log_{π} 0.2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c < b < a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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9、若方向向量为 $(1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ 相切，则直线 $l$ 的方程可以是（）

A、 $x + 2 y + 7 = 0$ B、 $2 x + y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y - 6 = 0$ D、 $2 x + y - 6 = 0$

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10、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，双曲线的方程为 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，则（）

A、双曲线的一条渐近线方程为 $y = - x$ B、椭圆和双曲线共焦点 C、椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ D、椭圆和双曲线的图象有4个公共点

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11、已知函数 $f (x) = k x + ln x - \frac{5}{4} k (k \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - k x + \frac{1}{x}$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线斜率为1，求该切线的方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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13、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \cos C - \frac{1}{2} c = b$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在线段BC上， $A D ⊥ A C$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ 的值．

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14、已知曲线 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{x} + a x - 1$ 存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为.

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6})$ 的图象的一条对称轴为 $x = π$ ，其中 $ω$ 为常数，且 $ω \in (0, 1)$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $3π$ B、 $f (\frac{3}{4} π) = \sqrt{3}$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 所得图象关于原点对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 100 π)$ 上有67个零点

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f (1) = 1 + e$ ，当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时，有 $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}$ ，则不等式 $f (\ln x) > x + \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(0, e)$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - e, x < 1 \\ \ln (2 x - 1), x \geq 1 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (a x) < f (a x^{2} + 1)$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, 4)$ B、 $(- 1, 2) \cup (2, 4)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[0, 4)$

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18、曲线 $y = \sin (x + 1)$ 与 $y = \lg x$ 交点个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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19、已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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