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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性（不需证明）；

(2)、若 $a = 2$ ，
（ⅰ）解不等式 $f (x) \leq \frac{3}{2 x}$ ；
（ⅱ）若 $g (x) = 2^{2 x + 1} - f (2 x) + 2 t f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{7}{4}$ ，求 $t$ 的值．

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2、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 的中点， $A B = B C = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $B D_{1} //$ 平面 $E D C_{1}$ ；

(2)、设平面 $α //$ 平面 $E D C_{1}$ ，且 $B \in α$ ，在图中作出 $α$ 与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．

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3、为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．

(1)、估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．

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4、设锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b = 2 a \sin B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、已知 $A (1, 2)$ ， $B (1 + \sqrt{3}, 3)$ ， $\vec{A B}$ 绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 得到 $\vec{A P}$ ，则点P的坐标为；一般地， $\vec{A B}$ 绕A逆时针旋转 $θ$ 得到 $\vec{A Q}$ ，则 $\vec{A Q}$ 的坐标为．

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6、设函数 $f (x) = \ln (|x| + 1)$ ， $g (x) = - x^{2} + a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 有两个交点，则实数a的取值范围是．

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7、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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8、函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{2}$ ， $x \in (t, t + \frac{π}{2})$ ， $t \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 为单调函数 B、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点 C、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 有最大值 $\frac{5}{2}$ D、 $\exists t \in R$ ，使得 $f (x)$ 的值域为 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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9、掷一枚质地均匀的骰子两次，设 $A =$ “第一次骰子点数为奇数”， $B =$ “第二次骰子点数为偶数”， $C =$ “两次骰子点数之和为奇数”， $D =$ “两次骰子点数之和为偶数”，则（）

A、C与D互为对立事件 B、A与D相互独立 C、 $P (A C) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B \cup D) = \frac{1}{2}$

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10、在复数范围内，方程 $x^{2} + x + 2 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - i$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ C、 $|x_{1}| = |x_{2}| = 2$ D、 $|x_{1}| = |x_{2}| = \sqrt{2}$

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11、某班同学身高的平均数为 $\bar{z}$ ，方差为 $S^{2}$ ，其中女生身高 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $S_{1}^{2}$ ，男生身高 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $S_{2}^{2}$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $\bar{x} < \bar{y}$ ，则 $\bar{x} < \bar{z} < \bar{y}$ B、若 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2} < S^{2} < S_{2}^{2}$ C、若 $m = n$ ，则 $\bar{z} = \frac{1}{2} (\bar{x} + \bar{y})$ D、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则 $S^{2} = \frac{m S_{1}^{2} + n S_{2}^{2}}{m + n}$

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12、点P是以 $A B$ 为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则 $x + y + x y$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 3 \sqrt{2}$

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13、已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为 $15 \sqrt{2} π$ ，则该圆台的体积等于（）

A、 $7 π$ B、 $21 π$ C、 $63 π$ D、 $21 \sqrt{7} π$

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14、“函数 $y = f (x)$ 为奇函数”是“函数 $y = |f (x)|$ 为偶函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m, n$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m // β$

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16、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (1, 2 \sqrt{2})$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $- 7$

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18、样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的 $75 %$ 分位数是（）

A、12 B、13 C、30 D、34

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19、已知点 $(2, 3)$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} + 2} = 1$ 上．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $Q$ 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点 $Q$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积为定值；

(3)、过点 $P (\frac{1}{2}, 1)$ 作斜率为 $k$ 的动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点 $H$ ，满足 $\frac{|P M|}{|P N|} = \frac{|M H|}{|H N|}$ ．
（ⅰ）求斜率 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）证明：点 $H$ 恒在一条定直线上．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = \sqrt{3} A C = 3$ ， $A D = 2 D B$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ O D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $B A A_{1}$ 和平面 $A A_{1} O$ 夹角的余弦值.

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