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相关试卷

1、下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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2、设自然数 $n \geq 3$ ，若由n个不同的正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 构成的集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

(1)、试分别判断在集合 $S_{1} = {1, 2, 3, 4}$ 与 $S_{2} = {1, 2, 4, 8}$ 是否具有性质P，不必说明理由；

(2)、已知集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 具有性质P．
①记 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ ，求证：对于任意正整数 $k \leq n$ ，都有 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 2^{k} - 1$ ；
②令 $d_{i} = a_{i} - 2^{i - 1}$ ， $D_{k} = \sum_{i = 1}^{k} d_{i}$ ，求证： $D_{k} \geq 0$ ；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ 的最大值．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，已知 $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $H$ 为线段 $E C$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上一点.

(1)、若 $C M = 2 M P$ ，求证： $P E / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ E M, P C = E C$ ，确定点 $M$ 的位置，并求二面角 $B - E M - C$ 的余弦值.

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4、若 $e^{x} \geq (a + 1) x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $(a + 1) b$ 的最大值为.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3, & x \leq 2 \\ 6 + \log_{a} x, & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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6、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + Δ x) - f (\frac{π}{6})}{Δ x} =$ .

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7、若 $\log_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ B、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 值域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的值域为 $[0, 2]$ C、函数 $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ 与 $y = - {log}_{5} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、 $a > b$ 成立的一个必要条件是 $a - 1 > b$

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9、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1, g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x, f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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10、根据公式 $\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α$ ， $\sin 10 °$ 的值所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{7}, \frac{1}{6})$ B、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (ln 3)$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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12、设正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} - a b + 4 b^{2} - c = 0$ ，则当 $\frac{c}{a b}$ 取得最小值时， $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} - \frac{6}{c}$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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13、函数 $f (x) = \frac{x cos x}{e^{|x| - 1}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、设函数 $f (x) = 3^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, \frac{3}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $[- 3, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[3, + \infty)$

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15、已知命题 $p : \forall x > 1, |x| > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 1, |x| \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1, |x| \leq 1$ C、 $\forall x > 1, |x| < 1$ D、 $\forall x \leq 1, |x| > 1$

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16、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 x - x^{2}}\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 2]$

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17、我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，化简可得卡西尼卵形线 $C : x^{2} + y^{2} + 1 = 2 \sqrt{x^{2} + 4}$ ，则（）

A、曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形 B、曲线C关于直线 $y = x$ 对称 C、曲线C都在圆 $x^{2} + y^{2} = 6$ 内 D、曲线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 没有公共点

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18、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x < 0\}, B = \{x| x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ B、 $A \cup B = A$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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19、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x | x < - 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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20、下列说法正确的有（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则 $P (A B) = 0$ B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件，则 $P (A + B) = 1$ C、把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D、某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

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