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相关试卷

1、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\overset{⃑}{O M}$ 的相伴函数.
（1）设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\overset{⃑}{O M}$ ；
（2）记向量 $\overset{⃑}{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ ， $\sin x$ 的值；
（3）已知 $A (- 2, 3)$ ， $B (2, 6)$ ， $\overset{⃑}{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m \sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\overset{⃑}{A P} ⊥ \overset{⃑}{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $F$ 为 $A B$ 上的点，且 $A F = 2 F B$ ， $E$ 为 $P D$ 中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $F G / /$ 平面 $A E C$ ？若存在，求出 $\frac{C G}{G P}$ 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

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3、在① $\cos A = \frac{2 c - a}{2 b}$ ， ② $b \cos C = (2 a - c) \cos B$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知_________.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $\cos A \cos C = - \frac{1}{8}$ ，求 $a + c$ .
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值；

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5、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的边分别对应 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 c cos A = b - c$ ，则 $\frac{sin (B - C)}{2 sin A}$ 的取值范围是

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6、如图，在正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A B = 2$ ， $A A^{'} = 3$ ，则三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C$ 的体积为.

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7、在复平面内， $O$ 是原点，向量 $\vec{O A}$ 对应的复数为 $5 + 3 i$ ， $\vec{O B}$ 与 $\vec{O A}$ 关于 $y$ 轴对称，则点 $B$ 对应的复数是．

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8、景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界.景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地 $A B C D$ 上举办陶瓷展览会，已知 $A B = 120 m$ ， $A D = 60 m$ ， E为边 $A B$ 的中点.G，F分别为边 $A D$ ， $B C$ 上的动点， $∠ G E F = \frac{2 π}{3}$ ，举办方计划将 $△ E F G$ 区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（）

A、 $1100 \sqrt{3} m^{2}$ B、 $1200 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $2100 m^{2}$ D、 $2300 m^{2}$

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9、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，且 $m, n ⊄ α$ ， $m, n ⊄ β$ ，给出下列四个论断：① $α // β$ ；② $m // n$ ；③ $m // α$ ；④ $n // β$ ．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（）．

A、①②③ $\Rightarrow$ ④ B、①③④ $\Rightarrow$ ② C、①②④ $\Rightarrow$ ③ D、②③④ $\Rightarrow$ ①

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10、若复数 $z = \frac{3 + 2 i}{i^{2024} - i}$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列结论正确的是（）

A、复数 $z$ 所对应的点位于第一象限 B、 $\bar{z} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{13}{2}$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{12}{13} - \frac{5}{13} i$

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11、“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示， $A B = 2, C D = 1, ∠ A = 45^{\circ}$ .点 $P$ 在线段 $A B$ 与线段 $B L$ 上运动，则 $\vec{E H} \cdot \vec{F P}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4, 6]$ B、 $[0, 6]$ C、 $[0, 8]$ D、 $[4, 8]$

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12、平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{12} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{a}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{8} \vec{a}$

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13、钝角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a = 3$ ， $b = 2 c$ ，且 $9 \sin B - 2 \sin C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、9 B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{23}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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15、如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为 $64 π$ ，则圆柱底面圆的半径为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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16、已知 $(z + \bar{z}) i = \bar{z} - 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求 $\{\frac{1}{a_{n}} \cdot 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}, 2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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18、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 B B_{1}$ ，

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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19、设 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $A D_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小.

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正切值.

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