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相关试卷

1、某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．
（1）求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．

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2、已知直线 $m : 2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $n : x + y - 3 = 0$ 的交点为P.
（1）若直线l过点P，且点A(1，3)和点B(3，2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l₁过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为 $4$ ，求直线l₁的方程．

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3、若点A（x，y）满足C：（x+3）²+（y+4）² $\leq$ 25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，| $\vec{P A} + \vec{P B}$ |的最小值为.

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4、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为．

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5、已知直线 $l_{1} : m x + y + 2 m - 3 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m + 1 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离最大值为.

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6、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x + y + 2 = 0, P$ 为直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A ､ P B$ ，切点为 $A ､ B$ ，则下列各选项正确的是（）

A、四边形 $M A P B$ 面积的最小值为4 B、四边形 $M A P B$ 面积的最大值为8 C、当 $∠ A P B$ 最大时， $|P A| = 2$ D、当 $∠ A P B$ 最大时，直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 0$

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{3}$ C、二面角 $D_{1} - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、平面 $A B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$

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8、三条直线 $x + y = 0$ ， $x - y = 0$ ， $x + a y = 3$ 构成三角形，则 $a$ 的值不能为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、－2

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9、已知点 $P$ 在直线 $y = - x - 3$ 上运动， $M$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点， $N$ 是圆 ${(x - 9)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 上的动点，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为（）

A、13 B、11 C、9 D、8

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10、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ，若棱 $A B$ 上存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ P C$ ，则 $A D$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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11、过点 $P (1, 3)$ 作直线 $l$ ，若 $l$ 经过点 $A (a, 0)$ 和 $B (0, b)$ ，且 $a, b$ 均为正整数，则这样的直线 $l$ 可以作出（），

A、 $1$ 条 B、 $2$ 条 C、 $3$ 条 D、无数条

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12、直线 $y = k x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $|\vec{M N}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 等于（）

A、0 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ 或0 D、 $- \frac{3}{4}$ 或0

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13、设 $a ， b$ 为两条直线， $α ， β$ 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A、若 $a ， b$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $a ∥ b$ B、若 $a ∥ α ， b ∥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a \subset α ， b \subset β ， a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$

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14、已知直线 $l_{1} : x - 3 y + 2 = 0, l_{2} : 3 x - a y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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15、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 6 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 41 - r^{2} = 0$ $(r > 0)$ .

(1)、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交，求 $r$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l : y = k x + 1$ 与圆 $C_{1}$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 4$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、若 $r = 2$ ，设 $P$ 为平面上的点，且满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

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16、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆C与直线 $y = x$ 相切于原点O．

(1)、求圆C的方程．

(2)、试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点 $F (4, 0)$ 的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、如图，在圆台 $O O_{1}$ 中， $A_{1} B_{1}, A B$ 分别为上、下底面直径，且 $A_{1} B_{1} / / A B$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为异于 $A A_{1}, B B_{1}$ 的一条母线．

(1)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，证明： $C_{1} M / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $O O_{1} = 3, A B = 4, ∠ A B C = 30 °$ ，求二面角 $A - C_{1} C - O$ 的正弦值．

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18、如图，在三棱锥 $P — A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $P B$ 、 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $E F$ ∥平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $D$ 为棱 $P A$ 上一点，是确定点 $D$ 的位置，使得平面 $D E F$ ∥平面 $A B C$ ，并说明理由．

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19、已知直线 $l$ ： $a x - y + 4 = 0$ 及圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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20、（1）已知直线 $l_{1} : 2 x + 7 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，求 $m$ 的值；
（2）已知直线 $l_{1} : (a + 2) x + (1 - a) y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x + (2 a + 3) y + 2 = 0$ 互相垂直，求 $a$ 的值．

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