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相关试卷

1、如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{4}{3}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ + 3 \cos θ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3、已知复数 $z = \frac{1 + i}{a + i}$ （其中a为实数，i为虚数单位），若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\sqrt{2} i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- \sqrt{2} i$

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4、已知集合 $M = {x | x (x - 1) < 0}$ ， $N = {x | - 1 < x < 1}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \emptyset$ B、 $M \cap N = N$ C、 $M \cup N = M$ D、 $M \cup N = N$

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5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角 $A - E F - C$ 的大小为60°，点M在线段AB上.

(1)、若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线 $O D / /$ 平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角 $M - E C - F$ 的余弦值，若不存在，说明理由.

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，（x， $y \in R$ ）则x，y的值分别为（）

A、1，1 B、1， $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ ， 1

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7、已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} + 2$ ， $x \in [1, + \infty)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，用单调性定义证明函数 $y = f (x)$ 的单调性，并求出函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围；

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8、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过 $(0, 2)$ 和 $(2, 10)$ 两点，求 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$

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10、命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m > 1$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = \frac{1}{2} A B = 1, E, F$ 分别是线段 $B D$ 和 $P C$ 上的动点，且 $\frac{B E}{B D} = \frac{P F}{P C} = λ (0 < λ \leq 1)$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值；

(3)、若直线 $A E$ 与线段 $B C$ 交于M点， $A H ⊥ P M$ 于点H，求线段 $C H$ 长的最小值．

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12、如图1，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 的中点， $A C \cap B D = O_{1}$ ， $A C \cap M N = G$ ．沿 $M N$ 将 $△ C M N$ 翻折到 $△ P M N$ 的位置，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ，得到如图2 所示的五棱锥 $P - A B M N D$ ．

(1)、在翻折过程中是否总有平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A G$ ？证明你的结论；

(2)、若平面 $P M N ⊥$ 平面 $M N D B$ ，线段 $P A$ 上是否存在一点Q，使得平面 $Q D N$ 与平面 $P M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值；

(2)、在 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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14、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C$ 中， $C A = C B = 1, ∠ B C A = 90^{°}, A A_{1} = 2, M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} A$ 的中点．

(1)、求BN的长；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{B A_{1}}, \vec{C B_{1}}⟩$ 的值．

(3)、求证：BN⊥平面 $C_{1} M N$ ．

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15、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若 $A B = 25 m$ ， $B C = 10 m$ ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为.

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16、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P D = 1$ ， $A B = 3$ ， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $P G$ 与平面 $P A D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为.

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17、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为2，底面边长为1， $M$ 是 $B C$ 的中点．在直线 $C C_{1}$ 上求一点 $N$ ，当 $C N$ 的长为时，使 $M N ⊥ A B_{1}$ ．

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18、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{C G} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A A_{1}}$ B、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ C、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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19、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = 1$ 时，点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上 B、当 $μ = 1$ 时，点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 在以 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点为端点的线段上 D、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时， $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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20、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $D B_{1} = 3$ B、向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A C_{1}}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、平面 $A E F$ 的一个法向量是 $(4, - 1, 2)$ D、点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{8 \sqrt{21}}{21}$

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