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相关试卷

1、如图圆 $O$ 中若 $B A = 4, B C = 5$ ，则 $\vec{B O} \cdot \vec{A C}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、3 C、 $\frac{9}{2}$ D、-3

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2、下列命题正确的为（）

A、已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a, b$ 异面， $b, c$ 异面，则 $a, c$ 异面 B、已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a ⊥ c, b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ C、底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D、若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于 $P, Q, R$ ，则 $P, Q, R$ 三点共线

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3、将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为 $4 π$ ，外弧长为 $8 π$ ，若该圆台的体积为 $\frac{28 \sqrt{5} π}{3}$ ，则圆台的母线长为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4、如图是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图， $D^{'}$ 是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中 $B^{'} C^{'}$ 边的中点， $∠ A^{'} D^{'} C^{'} = 45 °, A^{'} B^{'}, A^{'} D^{'}, A^{'} C^{'}$ 三条线段对应原图形中的线段 $A B, A D, A C$ ，那么（）

A、最短的是 $A C$ B、最短的是 $A B$ C、最短的是 $A D$ D、无法确定谁最短

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5、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 5 - 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $- 5 + 2 i$ D、 $5 + 2 i$

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6、在平面直角坐标系中，如果将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $α (0 < α \leq \frac{π}{2})$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 $f (x)$ 为“ $α$ 旋转函数”.

(1)、判断函数 $y = \sqrt{3} x$ 是否为“ $\frac{π}{6}$ 旋转函数”，并说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = \ln (2 x + 1) (x > 0)$ 是“ $α$ 旋转函数”，求 $\tan α$ 的最大值；

(3)、若函数 $g (x) = m (x - 1) e^{x} - x \ln x - \frac{x^{2}}{2}$ 是“ $\frac{π}{4}$ 旋转函数”，求 $m$ 的取值范围.

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $l : y = x + m$ 与椭圆交于 $A 、 B$ 两点（其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方，点 $B$ 在 $x$ 轴下方）.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴折叠，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面 $A^{'} F_{1} F_{2}$ ）与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面 (平面 $B^{'} F_{1} F_{2}$ ) 垂直.

①若折叠后 $O A^{'} ⊥ O B^{'}$ ，求 $m$ 的值；
②是否存在 $m$ ，使折叠后 $A^{'} 、 B^{'}$ 两点间的距离与折叠前 $A 、 B$ 两点间的距离之比为 $\frac{3}{4}$ ?

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8、为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为 $80 %$ ，跳绳的概率为 $20 %$ ，在下雪天他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ . 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $60 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ . 已知寒假第一天不下雪，跑步 $20$ 分钟大约消耗能量 $300$ 卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的值，并求 $P_{n}$ ；

(2)、设小王寒假第 $n$ 天通过运动消耗的能量为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.

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9、已知四面体 $A - B C D, A B = A D = B C = C D = 2, A C = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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10、已知关于 $x$ 的不等式 $(ln x - 2 a x) [x^{2} - (2 a + 1) x + 1] \leq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2}{\sqrt{3}} a \cdot \sin^{2} \frac{A + C}{2} = b \cdot \sin A$ ，下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $a = 4 ， b = 5$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、当 $a - c = \frac{\sqrt{3}}{3} b$ 时， $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\cos A + \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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12、下列说法正确的是（）

A、数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2}), σ$ 越小，表示随机变量 $X$ 分布越集中 C、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots \dots, x_{n}$ 的方差为3，则 $x_{1} - 1, x_{2} - 1, x_{3} - 1, \dots, x_{n} - 1$ 的方差为3 D、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若其中一个散点为 $(m, - 0.28)$ ，则 $m = 4$

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13、设 $O$ 为原点， $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上且满足 $|O P| = \frac{3}{2} a$ ， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{7}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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14、已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $x = t$ 为函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x} - 1} (x < 0)$ 的极值点，则 $f ([t]) =$ （）

A、 $\frac{2 e}{e - 1}$ B、 $\frac{3 e^{2}}{e^{2} - 1}$ C、 $\frac{4 e^{3}}{e^{3} - 1}$ D、 $\frac{5 e^{4}}{e^{4} - 1}$

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15、已知 $A (- 2, - 2), B (1, 3)$ ，点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最大值为（）

A、 $16 - 6 \sqrt{2}$ B、 $26 + 2 \sqrt{2}$ C、 $26 + 4 \sqrt{2}$ D、32

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16、设 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} = a_{4} - 2 ， S_{2} = a_{3} - 2$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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17、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\cos ⟨3 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、1

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18、复数 $\frac{5 i}{i - 2}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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19、对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得 $m = a n + b$ ，其中 $a \in N, 0 \leq b < n, b \in N$ ，我们记 $a = D (m, n), b = M (m, n)$ ．对任意正整数 $i$ ，定义 $i$ 的生成数列为 $\{T {(i)}_{n}\}$ ，其中 $T {(i)}_{n} =$ $\frac{M (i, 3^{n}) - M (i, 3^{n - 1})}{3^{n - 1}}$ ．

(1)、求 $D (2024, 9)$ 和 $M (2024, 9)$ ．

(2)、求 $\{T {(100)}_{n}\}$ 的前3项．

(3)、存在 $n_{0}$ ，使得 $T {(i)}_{n_{0}} \neq 0$ ，且对任意 $n > n_{0}, T {(i)}_{n} = 0$ 成立．考虑 $T {(i)}_{n_{0}}$ 的值：当 $T {(i)}_{n_{0}} = 1$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n = n_{0}, \\ T {(i)}_{n}, n \neq n_{0} . \end{array}$ 当 $T {(i)}_{n_{0}} = 2$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{cases} 1, n = n_{0} + 1, \\ T {(i)}_{n - 1}, 1 < n \leq n_{0}, \\ 0, n = 1 或 n > n_{0} + 1. \end{cases}$ 若数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 和数列 $\{T {(j)}_{n}\}$ 相同，则定义函数 $f (i) = j$ ，其中函数 $f (i)$ 的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数 $f (i)$ 是增函数．
（ⅱ）求证： $f (f (i)) = 3 i$ ．

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20、如图，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0), M (2, 1)$ 是抛物线内一点，过点 $M$ 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $A, B, l_{2}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $C$ ， $D$ ，当 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点时， $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{D B}$ 的最小值．

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