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相关试卷

1、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, A B = 3, B C = 4, P A = 5$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $36 π$ B、 $40 π$ C、 $45 π$ D、 $50 π$

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2、在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)

A、512个 B、192个 C、240个 D、108个

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{3} - 2, x \geq 0 \\ \frac{1}{x^{2}} - 1, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x} + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是减函数．

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6、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $b (e^{a} - 1) + a = e^{b} - \ln b$ ，则 $b - 2 a$ 的最大值是.

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7、用模型 $y = a e^{b x}$ 拟合一组数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，其中 $y_{1} y_{2} \cdot \cdot \cdot y_{9} = e^{51}$ .设 $z = ln y$ ，变换后的线性回归方程为 $\hat{z} = x + 5$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{9} =$ ．

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8、已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ ，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ .

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9、如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置 $X_{n}$ .则下列命题正确的是（）

A、 $P (X_{3} = 0) = 0$ B、 $P (X_{4} = - 2) = \frac{1}{4}$ C、 $E (X_{n}) = 0$ D、移动n次后质点最有可能回到原点

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10、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $4 a b > 1$ B、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ C、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b + 1} \leq 2$

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11、已知 $\frac{{(2 x + a)}^{5}}{x^{2}}$ 的展开式中所有项的系数之和为1，则（）

A、展开式的常数项为 $- 40$ B、 $a = 1$ C、展开式中系数最大的项的系数为80 D、所有幂指数为非负数的项的系数和为 $- 8$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = f^{'} (x) - 2 e^{x} + x$ 也是定义在 $R$ 上的奇函数，则关于 $x$ 的不等式 $g (1 - x^{2}) + g (2 x + 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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13、下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X ~ B (3, 0.2)$ ，则 $P (X = 2) = 0.032$ B、某人在7次射击中，击中目标的次数为 $X$ 且 $X ~ B (7, 0.8)$ ，则当 $X = 5$ 时概率最大 C、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D、从 $10$ 个红球和 $20$ 个白球颜色外完全相同中，一次摸出 $5$ 个球，则摸到红球的个数服从超几何分布

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14、植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）

A、30 B、36 C、40 D、42

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15、2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$ ．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{1}{2}$ ．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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16、 $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 + x)}^{7}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、 $42$ B、 $35$ C、 $7$ D、 $1$

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17、已知集合 $A = \{x \in R | x^{2} < 10\}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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18、卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ，定义无穷数列 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n + 1 - k} (n \in N_{+})$ ，记作 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，称为 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 $\{c_{n}\}$ 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{b_{n}\} * \{a_{n}\}$ ．

(1)、若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2^{n}$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，求 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， $c_{4}$ ；

(2)、对 $i \in N_{+}$ ，定义 $T_{i} \{a_{n}\}$ 如下：①当 $i = 1$ 时， $T_{i} \{a_{n}\} = \{a_{n}\}$ ；②当 $i \geq 2$ 时， $T_{i} \{a_{n}\}$ 为满足通项 $d_{n} = \{\begin{array}{l} 0, n < i \\ a_{n + 1 - i}, n \geq i \end{array}$ 的数列 $\{d_{n}\}$ ，即将 $\{a_{n}\}$ 的每一项向后平移 $i - 1$ 项，前 $i - 1$ 项都取为0．试找到数列 $\{t_{n}^{(i)}\}$ ，使得 $\{t_{n}^{(i)}\} \cdot \{a_{n}\} = T_{i} \{a_{n}\}$ ；

(3)、若 $a_{n} = n$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，证明：当 $n \geq 3$ 时， $b_{n} = c_{n} - 2 c_{n - 1} + c_{n - 2}$ ．

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19、第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（ $n < N$ ）坦克的编号为 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， …， $X_{n}$ ，记 $M = max \{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\}$ ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用 $\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}$ 估计总体的均值，因此 $N \bar{X} \approx \sum_{i = 1}^{N} i = \frac{N (N + 1)}{2}$ ，得 $\bar{X} \approx \frac{N + 1}{2}$ ，故可用 $Y = 2 \bar{X} - 1$ 作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现 $Y < M$ 的无意义结果.例如，当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，若 $X_{1} = 1$ ， $X_{2} = 2$ ， $X_{3} = 4$ ，则 $M = 4$ ，此时 $Y = 2 \cdot \frac{1 + 2 + 4}{3} - 1 = \frac{11}{3} < M$ .

(1)、当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，求条件概率 $P (Y < M| M = 5)$ ；

(2)、为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当 $N = 8$ ， $n = 4$ 时，求随机变量M的分布列和均值 $E (M)$ ；

(3)、丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现 $E (M)$ 与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断 $E (M)$ 与N的大小关系，并给出证明.

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20、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = B C = C A = A A_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 4$ ，点O为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点D为线段 $O A_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $A D ∥$ 平面 $O C C_{1}$ ；

(2)、若平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成线面角的大小.

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