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相关试卷

1、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点， $△ P A B$ 面积的最大值为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为 $k_{A M}$ ， $k_{A N}$ ，且 $k_{A M} k_{A N} = - \frac{3}{4}$ ，证明：直线MN过定点．

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2、年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会．

(1)、求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)、记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望，

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $C A A_{1} C_{1}$ 均为矩形， $A B ⊥ A_{1} C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b \cos C + c \sin B = \sqrt{3} a$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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5、由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意）

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6、已知 $A (0, 2)$ ，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $B (4, y_{0})$ 为 $Γ$ 上一点，若 $A B ⊥ A F$ ，则 $| B F | =$ ．

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7、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、若 $f (x_{1}) = x_{2} \ln x_{2} = 1$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$ D、若过点 $P (a, 0)$ 的曲线 $y = f (x)$ 的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 $(- \infty, - 4) \cup (0, + \infty)$

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9、已知双曲线 $C$ 的两个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ， $(- \sqrt{5}, 0)$ ，点 $(- \sqrt{5}, \frac{1}{2})$ 在双曲线 $C$ 上，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ C、直线 $y = \frac{1}{2} (x - 3)$ 与双曲线 $C$ 只有一个公共点 D、直线 $y = x - 3$ 与双曲线 $C$ 的左支和右支各有一个交点

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10、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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11、已知球O是正三棱锥 $P - A B C$ 的外接球，若正三棱锥 $P - A B C$ 的高为 $\sqrt{2}$ ，底边 $A B = \sqrt{3}$ ，则球心O到平面ABC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 4) = f (x) + f (1)$ ，则（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $f (5) = 0$ C、 $f (6) = 0$ D、 $f (7) = 0$

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13、已知 $2 a$ ， $a^{2}$ ， $| a |$ ， $2 a + 2$ 的中位数为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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14、若 $\tan α = - 2$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 \cos^{2} α - \sin^{2} α}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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15、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{6} + a_{11} = 6$ ，则 $S_{9} - S_{2} =$ （）

A、24 B、21 C、14 D、18

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16、函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \log_{2} x - \frac{1}{2}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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17、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ， $B = \{y ∣ y = x^{2} - x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[\frac{1}{4}, 1)$ B、 $[- \frac{1}{4}, 1)$ C、 $(- 2, \frac{1}{4}]$ D、 $(- 2, - \frac{1}{4}]$

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18、 $|i^{3} + i^{2} - i - 1| =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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19、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，空间内的动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} +$ $z \vec{A A_{1}}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in [0, 1]$ ，且 $P$ 到棱 $C C_{1}$ 的距离和 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离相等，则（）

A、当 $z = 1$ 时， $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ B、当 $x = \frac{1}{2}$ 时，四面体 $C B C_{1} P$ 的体积为定值 C、存在点 $P$ ，使得 $A P = \frac{π}{4}$ D、直线 $B P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值最大为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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20、如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（）

A、0.25m B、0.5m C、1m D、2m

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