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相关试卷

1、若 $z = \frac{1 + i}{a + i}$ 为纯虚数， $a \in R$ ，则 $| z + 1 | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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2、已知 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z + z^{3} + z^{5} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3、设 $a \in R, (a + i) (1 - a i) = 2,$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4、若 $z = 5 + i$ ，则 $i (\bar{z} + z) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $2 i$ C、10 D、 $2$

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5、设 $z = \sqrt{2} i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上，满足 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，则向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{A D}$ 上的投影向量为（请用 $\vec{A D}$ 表示）；若 $A B = 3$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $A B$ ， $B C$ 上的动点，满足 $B M + B N = 1$ ，则 $\vec{E M} \cdot \vec{E N}$ 的最小值为．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $2 \sqrt{3} c c o s^{2} \frac{A + C}{2} = b s i n C$ ，且边 $A C$ 上的中线 $B D$ 长为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $b$ 的取值范围为 $[2, 2 \sqrt{3})$ C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $3 \sqrt{6}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $M$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = 8$ ， $N$ 是直线 $O M$ 上异于 $M$ 、 $O$ 的任意一点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、6 C、7 D、9

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，点D为边 $B C$ 上一点，且满足 $(\vec{A D} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ．

(1)、证明： $A D = b$ ；

(2)、若 $A D$ 为内角A的平分线，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，求 $s i n A$ ．

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10、已知向量 $\vec{u} = (s i n x, s i n^{2} (x + \frac{π}{4})), \vec{v} = (\sqrt{3} s i n x, 1)$ ，函数 $f (x) = 2 \vec{u} \cdot \vec{v} - \sqrt{3}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 内有且只有一个零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 2, 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 外心，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $∠ A B C$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，设向量 $\vec{m} = (2 s i n A, \sqrt{3} s i n A + \sqrt{3} c o s A)$ ， $\vec{n} = (c o s A, c o s A - s i n A)$ ， $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ， $A \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ .

(1)、求函数 $f (A)$ 的最大值；

(2)、若 $f (A) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $s i n B + s i n C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边， $D$ 为边 $B C$ 上一点．

(1)、试利用“ $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ”证明：“ $c c o s B + b c o s C = a$ ”；

(2)、若 $A = \frac{π}{4}, B D = 3, C D = 2, A D ⊥ B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、已知 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (t, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为.

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16、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $C B = C D = 2 \sqrt{3}$ .若 $M$ 为线段 $B C$ 中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{D M} =$ ；若 $N$ 为线段 $B C$ （含端点）上的动点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (6, - 2)$ ，则（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{65}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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18、下列说法正确的有（）

A、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、若复数 $z$ 满足 $z + \frac{1}{z} = - 1$ ，则 $z^{2024} + \frac{1}{z^{2024}} = - 1$

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19、已知直线 $l$ ： $m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 有两个不同的公共点 $A$ ， $B$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ C、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ D、当 $r = 4$ 时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 有最小值为 $- 16$

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20、在 $R t △ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ， $c = 2$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 外接圆上一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最大值是（）

A、4 B、 $2 + \sqrt{10}$ C、3 D、 $1 + \sqrt{10}$

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