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相关试卷

1、定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x) f (1 - x) \leq \frac{1}{2}$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) = 1$

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2、下列命题正确的是（）

A、若事件A，B相互独立，则 $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ B、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{2}{3}$ C、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (1.5 \leq X < 2) = 0.36$ ，则 $P (X \geq 2.5) = 0.14$ D、线性相关模型中，相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关程度越强

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3、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a \geq 1, b \leq 1$ B、 $a b \leq 1$ C、 $a - b > - 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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4、某平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B D = 2$ ， $∠ A B D = ∠ A C D = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ C A D = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ .当 $△ B C D$ 的面积取得最大值时， $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{10}$ D、 $\frac{π}{12}$

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5、如图所示的九宫格中共有 $4 \times 4 = 16$ 个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（）种.

A、528 B、524 C、520 D、516

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6、已知实数 $a > 1$ ，正方形 $P Q R S$ 满足 $P Q ∥ x$ 轴，且 $P, Q, R$ 分别在 $y = {log}_{a} x$ ， $y = 2 {log}_{a} x$ ， $y = 5 {log}_{a} x$ 的图象上，若正方形 $P Q R S$ 的面积为36，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt[3]{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt[3]{2}$

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7、已知向量 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 是平面内的一组基底，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角”是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 ${sin}^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9、如图，等腰梯形 $A B C D$ 为某圆台的轴截面，满足 $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14}{3} π$ B、 $\frac{16}{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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10、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、已知 $i$ 为虚数单位， ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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12、已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 3 i$ D、 $3 i$

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13、对于函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在非零常数 $a$ 和 $b$ ，使得对任意实数 $x \in D$ 都有 $b - x \in D$ ，且等式 $f (b - x) = a f (x)$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 是“ $(a, b)$ 类对称函数”.

(1)、判断函数 $y = \sin x$ 是否是“ $(a, b)$ 类对称函数”，请说明理由；

(2)、设 $ω \in (0, 2 π]$ ，若函数 $y = cos (ω x)$ 是“ $(a, 1)$ 类对称函数”，求 $ω$ 的值；

(3)、设 $b \in (0, 2 π]$ ，证明：函数 $y = \frac{\sin x}{2 + \cos x} + x + t$ 是“ $(a, b)$ 类对称函数”的充要条件是“ $a = - 1$ 且 $t = - π$ ”.

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14、如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，过 $E F$ 的平面交平面 $A B C D$ 于 $A C$ ， $E F = A C = E C = 2$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C E F$ ， $∠ A C E = 60 °$ ，且四棱锥 $E - A B C D$ 的体积是 $2 \sqrt{3}$ ．
①求 $B D$ 的长；
②求直线 $E D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值．

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15、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 ω x + {cos}^{2} ω x$ ，其中 $0 < ω < 2$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象在 $(0, \frac{π}{3}]$ 上存在对称轴，求 $ω$ 的取值范围.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos A, \cos A + \sin A), \vec{n} = (2 \sin A, \cos A - \sin A)$ ，记 $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}, A \in [\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$ ．

(1)、求函数 $f (A)$ 的最大值；

(2)、若 $f (A) = 1, a = \sqrt{3}, b = 2$ ，求c．

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标， $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} / / (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值；

(3)、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值．

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18、在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A C = 4, A B = 2 A D, ∠ B A D = 60 °$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为．

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19、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，设 $∠ A B M = α, ∠ C B M = β$ ，若 $sin α = 3 sin β$ ，则 $sin C =$ .

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20、若 $z = 3 + 4 i$ ，那么 $|z| =$ .

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