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相关试卷

1、命题“ $\forall x \in (0, 1), x + sin x < 2$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in (0, 1), x + sin x \geq 2$ B、 $\exists x \in (0, 1), x + sin x \geq 2$ C、 $\forall x \notin (0, 1), x + sin x < 2$ D、 $\exists x \notin (0, 1), x + sin x < 2$

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2、设集合 $A = {1, 3, a}$ ， $B = {3, 5, 7}$ ，若 $A \cap B = {3, 5}$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $5$ D、 $7$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，其短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 上，记直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试问：是否存在常数 $λ$ ，使得当 $k_{1} k_{2} = λ$ 时， $△ O M N$ 的面积为定值?若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底平面是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥ P C$ ， $P B = P D$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、若 $P D ⊥ A B$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $B E D$ 夹角的余弦值．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{1} (a_{n} - 1)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 $\{a_{n}\}$ 在区间 $(S_{m}, S_{2 m})$ 中的项的个数，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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6、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x + 4 y - 40 = 0$ 与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点．

(1)、求 $y_{1} y_{2}$ 的值；

(2)、若 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $△ M A B$ 的重心恰为 $F$ ，求 $p$ 的值及点 $M$ 的坐标．

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7、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B_{1} D_{1} E ∥$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求 $A_{1}$ 到平面 $B D F$ 的距离．

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8、已知圆 $C$ 经过三点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 2)$ ， $B (3, 3)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于另一点 $P$ ，且 $△ C A P$ 为等腰直角三角形，求 $l$ 的方程．

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9、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $P F$ 与双曲线 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，若 $\frac{\sqrt{7}}{2} | P F | \geq | P A |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是．

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10、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 都是等边三角形， $A B = 2$ ， $P C = 1$ ， $D$ 为棱 $A B$ 上一点，则 $\vec{P D} \cdot \vec{C D}$ 的最小值是．

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11、已知与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 都相切的直线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 9$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ ．

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13、数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线 $C$ ： $x^{n} + y^{n} = 1 (n > 0)$ ，当 $n = 2$ 时，是我们熟知的圆；当 $n = \frac{2}{3}$ 时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线 $C$ 的结论正确的是（）

A、对任意正实数 $n$ ，曲线 $C$ 恒过2个定点 B、存在无数个正实数 $n$ ，曲线 $C$ 至少有4条对称轴 C、星形线围成的封闭图形的面积大于2 D、星形线与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 有四个公共点

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14、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $\{a_{n}\}$ 有最大项 C、 $\{S_{2 n}\}$ 是递增数列 D、 $\{S_{n}\}$ 有最小项

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15、已知直线 $l$ ： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(3, 1)$ B、原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{10}$ C、若点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离相等，则 $m = - \frac{1}{2}$ D、若直线 $l$ 经过一、二、三象限，则 $- \frac{4}{7} < m < - \frac{1}{2}$

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16、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（）

A、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}}$ B、 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}}$ C、 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}}$ D、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 均为等差数列，它们的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ， $a_{n} b_{n} = n^{2} + 36 n$ ， $S_{23} = T_{23}$ ，则 $a_{1} + b_{1} =$ （）

A、 $\frac{27}{2}$ B、 $\frac{31}{2}$ C、 $\frac{37}{2}$ D、 $\frac{41}{2}$

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18、如图，把正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 进行翻折，点 $E$ ， $F$ 满足 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{C B} = 3 \vec{C F}$ ， $O$ 是原正方形 $A B C D$ 的中心，当 $∠ E O F = \frac{5 π}{6}$ ，直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3} - 6}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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19、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，A， $B$ 是椭圆 $C$ 上关于 $x$ 轴对称的不同的两点，则 $|A F_{1}| \cdot |B F_{2}|$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 3]$ B、 $(3, \frac{7}{2}]$ C、 $(\frac{7}{2}, 4]$ D、 $(3, 4]$

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20、已知点 $P$ 为圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 外一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，且 $P A ⊥ P B$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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