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相关试卷

1、已知集合 $M = \{x| x^{2} - x - 2 < 0\}$ ， $N = {x \in Z| 2 x + 1 > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2、已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + a x (a \in R)$ .
（1）若 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y + b = 0$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值：
（2）求证：当 $a < - 2$ 时， $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点：
（3）设 $g (x) = |f (x)| \frac{1}{x e^{x}}$ ，若 $g (x)$ 在 $[1, e]$ 单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.（其中 $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数）

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3、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求 $r$ 的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 $l$ 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若 $2 \vec{M B} = 3 \vec{M A}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②设直线NA的斜率为 $k_{1}$ ，直线NB的斜率为 $k_{2}$ ，问： $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

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4、从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $∠ O A B = θ$ ，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于 $θ$ 的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积S的最小值及此时 $\tan θ$ 的值．

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = B C$ ， D，E分别是 $A C ， A_{1} B$ 的中点.
（1）求证：DE∥平面 $B C C_{1} B_{1}$
（2）若 $A B ⊥ D E$ ，求证：平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\sin x, \frac{3}{4})$ ， $\overset{⃑}{b} = (\cos x, - 1)$ .
（1）当 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ 时，求 $\tan 2 x$ 的值；
（2）设函数 $f (x) = 2 (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{b}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的最大值以及对应的x的值.

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7、实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ ，满足 $a_{1} = a_{9}$ ，且 $|a_{i} + a_{i + 2} - 2 a_{i + 1}| \leq 1 (i = 1, 2, \dots, 7)$ ，则对 $1 \leq i < j \leq 9$ ， $|a_{i} - a_{j}|$ 的最大值为 $M$ ，则

A、 $M = 7$ B、 $M = 8$ C、 $M = 9$ D、 $M = 10$

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8、已知函数 $f (x) = (\ln x - 1) {(x - 2)}^{i} - m (i = 1, 2), e$ 是自然对数的底数，存在 $m \in R$ ，所以（）

A、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 B、当 $i = 1$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个 C、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有3个 D、当 $i = 2$ 时， $f (x)$ 零点个数可能有4个

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9、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + φ) + \cos (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ ，且其图像关于直线 $x = 0$ 对称，则

A、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数 B、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 上为增函数 C、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上为减函数 D、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 上为减函数

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10、某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，判断下列结论：
（1）月接待游客量逐月增加；
（2）年接待游客量逐年增加；
（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；
（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳.
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 0$ 与曲线 $y = \frac{2 x + 4}{x + 3}$ 相交于 $A, B, C, D$ 点四点， $O$ 为坐标原点，则 $|\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C} + \overset{⃑}{O D}| =$ .

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12、如图，在△ $A B C$ 中， $\overset{⃑}{A D} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于点 $P$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B C} = 2$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的值为.

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13、若函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，且曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ 过点 $(0, 2 e^{2})$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、证明：若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，则 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ；

(3)、若 $G (x) = f (x) + x + \ln \frac{a}{2} \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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14、已知两点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 及一动点 $P$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{4}$ ，动点 $P$ 的轨迹记为 $C$ .过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $B N$ 交于点 $Q$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ A M N$ 的面积的最大值；

(3)、求点 $Q$ 的轨迹方程.

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15、如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $E F / / A D$ ， $A D = 4$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = E F = 2$ ， $A F = \sqrt{11}$ ， $F B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $A D$ 上一点，且 $F M ⊥ A D$ ，连接 $B D$ 、 $B E$ 、 $B M$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B F M$ ；

(2)、求平面 $A B F$ 与平面 $D B E$ 的夹角的余弦值.

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16、某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意
不满意
总计
男游客
35

女游客

15

合计

100

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，依据表中数据，以及小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?

(2)、从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 $X$ .求出 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \sin C - c \cos A - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值.

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 $k \in N^{*}$ ，定义集合 $B_{k} = \{i \in N^{*} | a_{l} < k\}$ ，设 $b_{k}$ 为集合 $B_{k}$ 中元素的个数，若 $B_{k} = \emptyset$ 时，规定 $b_{k} = 0$ .
（1）若 $a_{n} = 3^{n}$ ，则 $b_{10} =$ ；
（2）若数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前50项之和为.

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19、在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为.

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，且 $B_{1} P = 2 P B$ ， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、若 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹是一条长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的线段 B、不存在点 $Q$ ，便得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的最大体积为 $\frac{5}{18}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 且 $D_{1} Q$ 与平面 $A_{1} P D$ 所成的角最大时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积为 $\frac{1}{9}$

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	满意	不满意	总计
男游客	35
女游客		15
合计			100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879