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相关试卷

1、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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3、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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4、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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5、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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6、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个实数根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{24}, \frac{31}{24})$ B、 $(\frac{31}{24}, \frac{37}{24}]$ C、 $(\frac{31}{24}, \frac{47}{24}]$ D、 $(\frac{31}{24}, \frac{61}{24})$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的减函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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9、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 + 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $4 + 2 i$ D、 $4 - 2 i$

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10、1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ 、 $O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系，在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .

(1)、在 $x O y_{(\frac{3 π}{4})}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1)$ ，求 $|\vec{a}|$ ；

(2)、在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\sin α$ ；

(3)、如图所示，在 $x O y_{(\frac{π}{3})}$ 仿射坐标系中， $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上， $|\vec{B C}| = 1$ ， $\vec{O D} = \frac{7}{19} \vec{O C}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B D$ 、 $B C$ 中点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值.

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11、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的零点为 $x_{0}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 x_{0})$ ．

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (2, 4)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，求实数 $x$ 的值

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13、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中 $O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则三角形ABC的面积为

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14、已知海上 $B$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $70^{\circ}$ 方向距离 $A$ 岛5海里处， $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏西 $50^{\circ}$ 方向， $B$ 岛与 $C$ 岛相距7海里，则 $A$ 岛与 $C$ 岛的距离为海里.

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分列为 $a, b, c, A = 60 °, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{B D}{C D} = \frac{sin B}{sin C}$ C、 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的周长的取值范围是 $[4 \sqrt{3}, + \infty)$

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16、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若 $\vec{O A} + \vec{O C} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ 、 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 3 : 5$

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17、已知复数 $z = (1 - i) (6 + i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 7 + 5 i$ B、 $|z - 2| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + 7$ 为纯虚数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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18、函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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19、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A F ⊥ C H$ B、 $C H ∥ B D$ C、EI与BG共面 D、AF与BG异面

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20、已知点M为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中点，点N满足 $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A M}$ ，过点N的直线与 $A B, A C$ 分别交于P，Q两点，且设 $\vec{A P} = x \vec{A B}, \vec{A Q} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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