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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2}), E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = 0$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2．

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2、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, B C = 2 A B = 2 A D = 4, A B ⊥ B C$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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3、设 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $|\vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B}| = 2 |\vec{O A} - \vec{O B}|$ 的点 $C (x, y), |x - 2 y + m| + |x - 2 y - 7|$ 的值与 $x, y$ 无关，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) \cup [13, + \infty)$

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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5、在四面体 $A B C D$ 中（如图），平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $A D = C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， M为AB的中点，N在侧面 $B C D$ 上（包含边界），若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，（ $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ），则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则 $M N //$ 平面ACD B、当 $|M N|$ 最小时， $x = \frac{1}{4}$ C、若 $y = 0$ ，则 $M N ⊥ C D$ D、当 $|M N|$ 最大时， $x = - \frac{1}{2}$

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6、已知直线 $l_{1} : a x + 2 y + a = 0, l_{2} : 3 x + (2 a - 1) y + a + 1 = 0$ ，则“ $a = - \frac{3}{2}$ ”是“ $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、在① $\sqrt{3} a - b \sin C = \sqrt{3} c \cos B$ ， ② $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{2 a - b + 2 c}{4 c}$ ， ③ $\sin^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 1$ ， $△ A B C$ 的面积 $S \in (0, \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，求 $△ A B C$ 的周长l的取值范围；

(3)、若 $\sqrt{2} c = \sqrt{3} b$ ， $\vec{C A} = \sqrt{3} \vec{C D}$ ，求 $\tan ∠ A B D$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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8、单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值：

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $k$ 的取值范围.

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9、在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C} ， M$ 是 $B C$ 中点，则 $\vec{M E} \cdot \vec{B D} =$ ；若点 $P$ 在线段 $B D$ 上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P M}$ 的最小值是.

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10、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b} = (3, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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11、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2, 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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12、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ .则下列结论正确的是（）

A、 $b \cos A + a \cos B = 2$ B、 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0, 4 \sqrt{3})$ D、若 $(\frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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13、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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14、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a > b$ ，则 $\sin A$ 与 $\sin B$ 大小无法确定 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B > \cos A + \cos B$

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15、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ， $Q$ 是 $B C$ 中点， $A Q$ 与 $C P$ 交点为 $M$ ，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\frac{\sqrt{87}}{4}$

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17、如图，向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{e_{1}} + μ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ + μ =$

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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18、复数 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ B、 $- cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ C、 $cos 120^{\circ} + isin 60^{\circ}$ D、 $cos 120^{\circ} + isin 120^{\circ}$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $C D // A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证朋：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、若平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $P A$ 的长度.

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20、如图，已知矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 所在平面与直角梯形 $A B B_{1} N$ 所在平面垂直，在直角梯形 $A B B_{1} N$ 中， $A N // B B_{1}$ ， $A B ⊥ A N$ ， $A B = B C = A N = \frac{1}{2} B B_{1}$ .

(1)、判断 $B C_{1}$ 与 $B_{1} N$ 是否垂直，并说明理由；

(2)、求直线CN与平面 $B C_{1} N$ 所成角的余弦值.

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