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相关试卷

1、设函数 $y = \sin (2 x + φ)$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象与直线 $y = t$ 相交的连续的三个公共点从左到右依次记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $|B C| = 2 |A B|$ ，则正实数 $t$ 的值为.

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2、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a)$ 为偶函数.

(1)、已知函数 $φ (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ ，求该函数图象的对称轴方程；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
①求 $g (x)$ 的解析式；
②求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集.

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3、某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放 $a (1 \leq a \leq 4, a \in R)$ 克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 $y$ （克/升）随着时间 $x$ （分钟）变化的函数关系式近似为 $y = a \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x, 0 \leq x \leq 4 \\ \frac{6}{x - 3} + 2, x > 4 \end{array}$ ，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.

(1)、若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

(2)、如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度 $y$ （克/升）与时间 $x$ （分钟）的函数关系式，其中 $x$ 表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.

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4、已知 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $a, b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .
（1）判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若 $f (x) \leq m^{2} - 5 m t - 5$ 对所有 $x \in [- 1, 1]$ ， $t \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x - a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 6$ ；

(2)、若 $\exists x_{0} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、解不等式 ${log}_{2} |f (x)| \leq - 1$ .

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} k x + 7, x < - 2 \\ a x^{2} - 3, - 2 \leq x < 3 \\ - 2 x + 12, x \geq 3 \end{cases}$ ，其中 $f (f (8)) = - 5$ ， $f (- 1) = - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知方程 $f (x) = 1$ 的解集.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x, x < 0 \end{matrix}$ ，若关于x的不等式 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) < 0$ 恰有1个整数解，则实数a的最大值是．

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数，且 $f (- 2) = 0$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为

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10、已知函数f(x)＝ $\frac{x^{2} + 2 x + a}{x}$ ，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是．

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11、计算： ${(\frac{3}{2})}^{- 2} {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} + 2^{{log}_{2} \sqrt{3}} + lg \frac{1}{4} - lg 25 =$ .

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12、已知连续函数 $f (x)$ 满足：① $\forall x, y \in R$ ，则有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$ ， ②当 $x > 0$ 时， $f (x) < 1$ ， ③ $f (1) = - 2$ ，则以下说法中正确的是（　　）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (4 x) = 4 f (x) - 4$ C、 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值是10 D、不等式 $f (3 x^{2}) - 2 f (x) > f (3 x) + 4$ 的解集为 $\{x | \frac{2}{3} < x < 1\}$

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13、德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” $y = f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ 其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集．则关于函数 $f (x)$ 有如下四个命题，正确的为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $f (- x) + f (x) = 0$ B、对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1})$ C、若 $a <0$ ， $b > 1$ ，则有 $\{x| f (x) > a\} = \{x| f (x) < b\}$ D、存在三个点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，使 $△ A B C$ 为等腰直角三角形

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14、下列叙述正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $\frac{x + 1}{\sqrt{x}} \geq 2$ B、当 $x >4$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、函数 $y = 2 + x + \frac{1}{x} (x < 0)$ 的最大值是0 D、函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $[3, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 9]$

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15、下列函数既是偶函数，又在区间 $(- \infty, 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{5}}$ B、 $y = 3^{|x|}$ C、 $y = lg (x^{2} + 1)$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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16、函数 $f (x) = {log}_{a} (2 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A (m, n)$ ，若对任意正数 $x$ 、 $y$ 都有 $m x + n y = 4$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{39}{22}$ C、 $1$ D、 $\frac{4}{3}$

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17、已知 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} + 2 x^{2} - 3$ ，则不等式 $f (3 - 2 x) > f (x + 2)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (5, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, 5)$

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18、如图，点 $O$ 为坐标原点，点 $A (1, 1)$ ，若函数 $y = a^{x} (a > 0, 且 a \neq 1)$ 及 $y = \log_{b} x$ 的图象与线段 $O A$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，且 $M$ ， $N$ 恰好是线段 $O A$ 的两个三等分点，则 $a$ ， $b$ 满足．

A、 $a < b < 1$ B、 $b < a < 1$ C、 $b > a > 1$ D、 $a > b > 1$

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19、“函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (3 - a x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增”的充分必要条件是（）

A、 $a \in (0, + \infty)$ B、 $a \in (0, 1)$ C、 $a \in (0, \frac{3}{2})$ D、 $a \in (0, \frac{3}{2}]$

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20、集合 $A = \{x |y = ln (5 - x)\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}\}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\{(x, y) |\{\begin{cases} x < 5 \\ y \leq 0 \end{cases}\}$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(0, 5)$

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