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相关试卷

1、集合 $A = \{x| 1 < x < 3\}$ ，集合 $B = {x | x > 4$ 或 $x < 2}$ ，则集合 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $R$ B、 $[2, 3)$ C、 $(1, 4]$ D、 $\emptyset$

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2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.2] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ .若 $f (x) = x - [x]$ ， $g (x) = \frac{[x + 1]}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $2023 \leq x < 2024$ 时， $f (x) = x - 2023$ B、 $f (x + 1) - f (x) = 1$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ D、当 $x \geq 1$ 时，函数 $g (x)$ 的值域为 $(1, 2]$

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3、已知点 $(a, 27)$ 在幂函数 $f (x) = (a - 2) x^{m} (a, m \in R)$ 的图象上，则 $a + m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2 A D = 2, E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $E D B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值；

(3)、已知点 $F$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $E F$ 与平面 $E D B$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求线段 $P F$ 的长.

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5、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=^1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E，F分别为AB，BC， $B_{1} B$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $B_{1} D E$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B_{1} D ⊥ A_{1} F$ ，求点E到平面 $A_{1} F C_{1}$ 的距离．

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7、如图，在各棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别在棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $A_{1} M = \frac{1}{3} A A_{1} ， C N = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ．

(1)、求证： $D ， M ， B_{1} ， N$ 共面；

(2)、求证： $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ．

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8、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2), B (- 1, 1, 2), C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A C} .$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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9、在空间直角坐标系中，若点 $A (- 1, 6, 8)$ ， $B (1, 5, 7)$ ，则 $|A B| =$

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10、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知 $A (- 1, 0, 0), B (1, 2, - 2), C (0, 0, - 2), D (2, 2, - 4)$ ，则以下正确的是（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 6$ B、 $\vec{A C}, \vec{A B}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ C、A，B，C，D共面 D、点O到直线 $A B$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$

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12、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是锐角 B、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{12} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

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13、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (- 1, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, 1, \frac{1}{2})$ ，若 $l / / α$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、在棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ， $B D_{1} = \sqrt{3}$ ，则 $∠ B A D =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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15、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 1), \vec{b} = (2, - 2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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16、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 4, - 4)$ ， $\overset{⃑}{c} = (7, 7, λ)$ ，若 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ 三个向量共面，则实数 $λ =$

A、3 B、5 C、7 D、9

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17、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 1, 4)$ 关于x轴对称的点坐标是（）

A、 $(- 2, 1, - 4)$ B、 $(2, 1, 4)$ C、 $(- 2, - 1, - 4)$ D、 $(2, - 1, 4)$

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18、函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ .

(1)、 $a = 3$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 上两点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 、 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 连线斜率记为 $k$ ，求证： $k > \frac{2 - a}{a - 1}$ .

(3)、盒子中有编号为 $1 ~ 100$ 的 $100$ 个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取 $20$ 个小球，记抽取的 $20$ 个小球编号各不相同的概率为 $p$ ，求证： $p < \frac{1}{e^{2}}$ .

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左顶点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{17}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $O P$ 交于点 $Q$ ，且 $\vec{A B} = 2 \vec{Q B}$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当 $△ A P B$ 的面积取最大值时，求 $△ M O N$ 的面积.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，
（i）求二面角 $P - D M - B$ 的余弦值；
（ii）在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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