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相关试卷

1、下列命题中，不正确的命题是（）

A、空间中任意两个向量一定共面 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 4 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一个基底

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2、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点，

(1)、若线段 $A B$ 中点 $M$ 的纵坐标为2，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C, D$ 关于直线 $l$ 轴对称，求 $m$ 的取值范围.

(3)、若存在定点 $P$ ，使以 $A B$ 为直径的圆上的任意点 $Q$ ，都满足 $|P Q| : |O Q| = 2 : \sqrt{3}$ （ $O$ 为原点），求定点 $P$ 的坐标和 $m$ 的值.

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3、设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知动点 $M (x, y)$ 到直线 $x = - 3$ 的距离比它到定点 $(2, 0)$ 的距离多1

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若过点 $D (4, 4)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求直线 $l$ 的方程．

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5、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为60°的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 3 |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上的导函数为 $y = φ^{'} (x)$ ，若 $\frac{x \cdot φ^{'} (x)}{φ (x)} > 1$ 对任意实数 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上具有性质 $S$ .
（i）求证：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上具有性质 $S$ ；
（ii）记 $\prod_{i = 1}^{n} p (i) = p (1) p (2) ... p (n)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，求证： $\prod_{i = 1}^{n} i \sin \frac{1}{i} > \frac{1}{n (n + 1)}$ .

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7、如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”．

(1)、求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程；

(2)、若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围．

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8、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B B_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点， $A N ⊥ A_{1} C_{1}$ .

(1)、证明：平面 $A N P ⊥$ 平面 $A_{1} M P$ ；

(2)、设 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $P M N$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ?

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ， $n \in N^{*}$

(1)、证明数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = (n + 1) \cdot (a_{n} + 3)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sqrt{3} a sin C - c cos A - c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 、 $c$ 的值．

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11、若存在实数m，使得对于任意的 $x \in [\begin{array}{l} a, b \end{array}]$ ，不等式 $m^{2} + \sin x \cos x \leq 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot m$ 恒成立，则 $b - a$ 取得最大值时， $|\sin \frac{a + b}{2}| =$ ．

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12、已知 $△ A B C$ 的外心为 $O$ ，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a : b : c = 5 : 6 : 5$ .若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 7$ ，则 $\vec{B O} \cdot \vec{B A} =$ .

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 1) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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14、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (3 x + 1)$ 是偶函数，且 $f (2 + x) -$ $f (2 - x) = x$ ，令 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \frac{1}{2} x - f (x + 2)$ 是奇函数 B、 $g (1) = 0$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(3, 1)$ 对称 D、 $\sum_{i = 1}^{26} g (i) = \frac{325}{2}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $S_{n} = 2 n^{2} + 4 n + k$ ，则 $k = 0$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 3^{2 n + 1} + k$ ，则 $k = - 3$ C、若 $S_{n} = 3 n^{2} - 5 n + 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，则 $S_{2 n} > 2 S_{n}$

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16、已知函数 $f (x) = |\sin 2 x|$ ， $g (x) = \cos^{2} 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小正周期相同 C、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有相同的对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有相同的对称中心

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17、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < \frac{1}{e^{3}}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 2 n + 1$ ，则 $\frac{S_{7}}{a_{5}} =$ （）

A、 $\frac{369}{46}$ B、 $\frac{361}{46}$ C、 $\frac{367}{46}$ D、 $\frac{365}{46}$

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19、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $θ = \frac{2 π}{3}$ D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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20、已知 $\sin α \sin (α + \frac{π}{6}) = \cos α \sin (\frac{π}{3} - α)$ ，则 $\tan (2 α + \frac{π}{4})$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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