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相关试卷

1、若 $α \in (0, π)$ ，且 $sin α - cos α = sin α cos α$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2} + 1$ C、 $- \sqrt{2} \pm 1$ D、 $- 1 \pm \sqrt{2}$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b (a, b \in R), g (x) = x^{2} + x$ ，若这两个函数的图象在公共点 $A (1, 2)$ 处有相同的切线，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $e - 4$ B、 $e + 2$ C、e D、 $e^{2}$

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3、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{19}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 的两根，则 $a_{3} a_{17} + a_{10}$ 等于（）

A、 $6$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $6$ D、 $- 2$

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $[0, 2]$ 上的函数，则“对 $\forall x \in (0, 2]$ ， $f (x) > f (0)$ 都成立”是 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设 $M = \{x |x = 6 k - 2 . k \in Z\}$ ， $N = \{x |x = 3 k + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M ⊄ N$

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6、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足： $z + i \bar{z} = 2 + 2 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- 4}$ C、 $y = ln x$ D、 $y = 2^{|x|}$

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8、如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{b}{a} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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9、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R) ．$

(1)、若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；

(3)、解关于x的不等式：f（x）＜a-1．

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10、如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}, E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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11、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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12、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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15、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 4, x > 2 \end{array}$ ，若有不相等的实数 $a, b, c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是.

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16、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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17、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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18、（多选）下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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19、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立， $f (2026) = 2026$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2026) \cup (2026, + \infty)$ B、 $(- 2026, 0) \cup (2026, + \infty)$ C、 $(- 2026, 2026)$ D、 $(- \frac{1}{2026}, \frac{1}{2026})$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2024 - a x}}{a - 1}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2024]$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2024]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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